Coeficientes complexos

por Mefistófeles Seg 30 Mar 2015, 16:35

Olá pessoal,

estou com uma dúvida nessa questão:

Sabendo-se que o número complexo z=1+i é raiz do polinômio p(x)=2x^4+2x^2+x+a,calcule o valor de a.

O exercício não diz que os coeficientes são reais, então não posso usar o teorema das raízes conjugadas, então fiz usando
substituição e Briot-Ruffini (só para confirmar) e cheguei em a=7-5i, como não tenho nada contra coeficientes complexos, achei normal, porém o gabarito está como a=15/2, fazendo uma equação assim, usando a=15/2, as raízes são outras.

Há algum erro no meu raciocínio?

Obrigado.

por **Elcioschin** Seg 30 Mar 2015, 18:53

Certamente devemos fazer pensando em raízes conjugadas

z = 1 + i é raiz ---> z' = 1 - i também é raiz

[x - (1 + i)].[x - (1 - i)] = [(x - 1) - i].[(x - 1) + i] = [(x - 1)² - (i)²] = (x² - 2x + 2)

(x² - 2x + 2).(2x² + bx + c) = 2.x⁴ + 0.x³ + 2.x² + x + a

Faça as contas do primeiro membro e coloque em ordem decrescente do expoente de x.

Depois compare os coeficientes de mesmo grau de x, calcule b, c e depois calcule a

por Mefistófeles Seg 30 Mar 2015, 22:05

Olá Elcioschin,
realmente creio que é o gabarito que está errado mesmo, pois substituindo o a por 15/2, as raízes passam a ser outras, fiz o desenvolvimento para determinar os coeficientes e realmente são polinômios diferentes.
Os coeficientes dos termos "x^1" serão diferentes.
Muito obrigado