PA II - conferir gabarito

Determine a relação que deve existir entre os números m, n, p e q, para que se verifique a seguinte igualdade entre os termos da mesma PA: a_m + a_n = a_p + a_q.

Encontrei m + n = p + q.

Sim
Eu poderia fazer uma porrada de cálculos para calcular isso, mas observe que a soma de equidistantes dos extremos é sempre igual. Então, se são equidistantes, a soma deles será
m=a e n=k-n e
p=b e  q=k-b, portanto sua soma sempre será igual a k.
Tomara que tenha entendido.

Na verdade, em 2 linhas dá pra chegar na relação pedida.
O problema é que justamente você não sabe se os termos são equidistantes dos extremos, então não podemos particularizar. Se tivéssemos a PA de a1 = r = 0, a soma pedida seria 0 independentemente da escolha dos termos, por exemplo.
Com a resposta obtida, dados 3 elementos da sequência, podemos facilmente achar um 4º que satisfaça a do enunciado e perceba que eles não precisam ser necessariamente equidistantes!

OBS: essa é uma questão do IME 1965; na prova, seria necessário mostrar a solução através de cálculos, então tome cuidado com as particularizações.

Sério mesmo, mas você tem de ser mais bem humorado. O cálculo é simples e eu fiz antes de responder, mas estava com um pouco de pressa. Já sobre a pergunta, você queria a confirmação, ela veio kk.