(AFA - 1988 ) Progressão Aritmética

por Physika Qua 25 Fev 2015, 21:10

(AFA - 88) O termo geral de uma progressão aritmética é 5n-4/3. A soma dos n primeiros termos da progressão vale:

(A) n²-5n/3

(B) 5n²-3n/6 (Gabarito da apostila)

(C)5n²-16n/3

(D)10n²-8n/6

por **Carlos Adir** Qua 25 Fev 2015, 21:58

Vejamos, o primeiro termo é então:
n=0 --> a0 = -4/3
n=1 --> a1 = 1/3
n=2 --> a2 = 6/3 = 2
Podemos perceber que a razão é 5/3, e o primeiro termo é (-4/3)
Então, podemos somar:
$\\ \dfrac{-4}{3}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{6}{3}+\cdots +\dfrac{5n-4}{3}= a_0 + \left(a_0 + r \right )+\left(a_0+2r \right )+\cdots+\left(a_0 + nr \right )= \\ = n \cdot a_0 + r\left(1+2+3+\cdots+n \right )=n \cdot a_0 + r \dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n}{2}\left(2a_0+r(n+1) \right )= \\ = \dfrac{n}{2}\left(2 \cdot \dfrac{-4}{3}+\dfrac{5}{3}\left(n+1 \right ) \right )=\dfrac{n}{2}\left(\dfrac{-8+5(n+1)}{3} \right )=\dfrac{5n^2-3n}{6}$

PS: ponha alguns parêntes, pela expressão 5n-4/3 podemos entender de dois modos:
(5n-4)/3 ou 5n-(4/3)

por **Fito42** Qua 25 Fev 2015, 22:56

Uma solução alternativa:

An=A1 +q(n-1) --> Termo geral de uma PA
An=(5n-4)/3

Fazendo An = An
3A1 + 3qn - 3q = 5n - 4

Por comparação:
3qn = 5n
q = 5/3
3A1 -3q = -4
3A1 - 5 = -4
A1 = 1/3
Sn = (A1+An)n/2, fazendo An=A1 +q(n-1)

Sn = (1/3 + 1/3 + 5n/3 - 5/3)n/2
Sn = (-1 + 5n/3)n/2
Sn = [(-3+5n)/3]/2
Sn = 5n²-3n/6

por Physika Sex 27 Fev 2015, 21:47

Muito obrigado, galera. Consegui esclarecer minhas ideias com as resoluções de vocês. hehe.

por mdcb10 Dom 21 Jun 2015, 10:55

>>>Resolução fácil:
Termo geral: 5n-4/3
Logo a1=5(1)-4/3=1/3

Jogando os valores na formula de soma "(a1+an)n/2" temos:

(1/3+5n-4/3) × n/2
Fazendo a distributiva teremos:
n+5n²-4n/3/2 logo 5n²-3n/6