Soma - Produtos Notáveis
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Soma - Produtos Notáveis
por Hoshyminiag Dom 11 Jan 2015, 15:38
Sabendo que o valor da soma S = √(1 + 1/1² + 1/2²) + √(1+1/2² + 1/3²) + ... + √(1 + 1/1999² + 1/2000²) + √(1 + 1/2000² + 1/2001²) pode ser escrito na forma a + b/c, determine o valor de a + b + c:
a) 5998
b) 5999
c) 6001
d) 6002
e) 6003
Gab: C
a) 5998
b) 5999
c) 6001
d) 6002
e) 6003
Gab: C
Hoshyminiag- Mestre Jedi
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Re: Soma - Produtos Notáveis
por Robson Jr. Dom 11 Jan 2015, 20:53
Este exercício engloba outros problemas clássicos. Avise caso tenha dúvidas em alguma passagem.
Na soma descrita, todas as parcelas são da forma:
^2}} "\small \sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}")
Cabe uma simplificação. Observe:
^2}}&space;\\\\\\&space;=&space;\&space;\&space;\sqrt{\frac{k^2(k+1)^2+k^2+(k+1)^2}{k^2(k+1)^2}}&space;\\\\\\&space;=&space;\&space;\&space;\sqrt{\frac{(k^2+k)^2+2k(k+1)+1}{k^2(k+1)^2}}&space;\\\\\\&space;=&space;\&space;\&space;\sqrt{\left&space;(&space;\frac{k^2+k+1}{k^2+k}&space;\right&space;)^2}=1+\frac{1}{k(k+1)}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}&space;\\\\\\ "\small \sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}} \\\\\\ = \ \ \sqrt{\frac{k^2(k+1)^2+k^2+(k+1)^2}{k^2(k+1)^2}} \\\\\\ = \ \ \sqrt{\frac{(k^2+k)^2+2k(k+1)+1}{k^2(k+1)^2}} \\\\\\ = \ \ \sqrt{\left ( \frac{k^2+k+1}{k^2+k} \right )^2}=1+\frac{1}{k(k+1)}=1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \\\\\\")
Portando, a soma pedida é:
=2000+\sum_{k=1}^{2000}\left&space;(\frac{1}{k}&space;\right&space;)-\sum_{k=1}^{2000}\left&space;(\frac{1}{k+1}&space;\right&space;)&space;\\\\\\&space;\therefore&space;\&space;\&space;S=2000+1-\frac{1}{2001}&space;\\\\&space;\therefore&space;\&space;\&space;S=2000+\frac{2000}{2001}&space;\\\\&space;\Rightarrow&space;\&space;\&space;\boxed{2000+2000+2001=6001} "\small S=\sum_{k=1}^{2000}\left ( 1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right )=2000+\sum_{k=1}^{2000}\left (\frac{1}{k} \right )-\sum_{k=1}^{2000}\left (\frac{1}{k+1} \right ) \\\\\\ \therefore \ \ S=2000+1-\frac{1}{2001} \\\\ \therefore \ \ S=2000+\frac{2000}{2001} \\\\ \Rightarrow \ \ \boxed{2000+2000+2001=6001}")
Na soma descrita, todas as parcelas são da forma:
Cabe uma simplificação. Observe:
Portando, a soma pedida é:
Robson Jr.- Fera
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Re: Soma - Produtos Notáveis
por Hoshyminiag Dom 11 Jan 2015, 22:38
Olá, Robson Jr.
A fatoração eu entendi. Mas o que você fez após ''Portando, a soma pedida é:''? Fiquei perdido nesse pedaço.
Obrigado
A fatoração eu entendi. Mas o que você fez após ''Portando, a soma pedida é:''? Fiquei perdido nesse pedaço.
Obrigado
Hoshyminiag- Mestre Jedi
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Re: Soma - Produtos Notáveis
por Luck Dom 11 Jan 2015, 23:31
S = ∑ [ 1 + 1/k - 1/(k+1)] , k de 1 a 2000Hoshyminiag escreveu:Olá, Robson Jr.
A fatoração eu entendi. Mas o que você fez após ''Portando, a soma pedida é:''? Fiquei perdido nesse pedaço.
Obrigado
S = ∑1 + ∑ [1/k - 1/(k+1)]
∑1 = (1+1+1...+1) = 2000
S' = ∑ [1/k - 1/(k+1)] , k de 1 a 2000
S' é uma soma telescópica:
S' = (1/1) - (1/2) + (1/2) - (1/3) + (1/3) - (1/4) + ... + (1/999) - (1/200) + (1/2000) - (1/2001)
Note que todos os termos se cortam, exceto o primeiro e o último:
S' = (1/1) - (1/2001)
S = 2000 + 1 - 1/2001
S = 2000 + (2000/2001)
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Re: Soma - Produtos Notáveis
por Robson Jr. Seg 12 Jan 2015, 16:25
É isso mesmo. Obrigado, Luck!
Hoshyminiag, você por acaso não está familiarizado com a notação de somatório?
Hoshyminiag, você por acaso não está familiarizado com a notação de somatório?
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Re: Soma - Produtos Notáveis
por Hoshyminiag Seg 12 Jan 2015, 16:48
Robson Jr. escreveu:É isso mesmo. Obrigado, Luck!
Hoshyminiag, você por acaso não está familiarizado com a notação de somatório?
Sim, não estou familiarizado
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Re: Soma - Produtos Notáveis
por Robson Jr. Seg 12 Jan 2015, 17:06
Aquela letra "E" é uma maneira compacta de escrever uma soma de várias parcelas (somatório).
De modo geral, funciona assim:
=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-2)+f(n-1)+f(n) "\small \sum_{k=1}^{n}f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-2)+f(n-1)+f(n)")
Lê-se: somatório de f(k), de k=1 até n.
Entenda por f(k) uma lei de formação qualquer. A título de exemplo:
De modo geral, funciona assim:
Lê-se: somatório de f(k), de k=1 até n.
Entenda por f(k) uma lei de formação qualquer. A título de exemplo:
Robson Jr.- Fera
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Re: Soma - Produtos Notáveis
por L.Lawliet Qui 19 Fev 2015, 09:18
Robson Jr., uma curiosidade, somatório duplos interpreta-se como? Por exemplo,
Como eu interpreto aquele ultimo?
Ou esse, por exemplo:
PS: Não sei se o que eu escrevi ↑ existe
Valeu!!!
- Spoiler:
+%5E%7B2%7D%3D%5Cleft(+%5Cdisplaystyle%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7Da_%7Bk%7D%5E%7B2%7D%5Cright)+%5Cleft(+%5Cdisplaystyle%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7Db_%7Bk%7D%5E%7B2%7D%5Cright)+-%5Cdisplaystyle%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%5Cdisplaystyle%5Csum_%7Bj%3Di%2B1%7D%5E%7Bn%7D%5Cleft(+a_%7Bi%7Db_%7Bj%7D-a_%7Bj%7Db_%7Bi%7D%5Cright)+%5E%7B2%7D&bg=ffff00&fg=000000&s=0)
Como eu interpreto aquele ultimo?
Ou esse, por exemplo:
PS: Não sei se o que eu escrevi ↑ existe
Valeu!!!
L.Lawliet- Mestre Jedi
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