[Produtos Notáveis] A soma de...

A soma de [latex]\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}} + \sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}[/latex] é igual a:


Gab: 1

Sejam \(a = \sqrt[3]{5+2\sqrt {13}} \) e \(b = \sqrt[3]{5-2\sqrt {13}}\)

Observamos que  \(a^3 + b^3 = 10\)  e que  \(ab = \sqrt[3]{25 - 2^2\cdot 13} = \sqrt[3]{-27} = -3\)

Queremos calcular x = a+b. Elevando ao cubo obtemos:

x³ = a³+3a²b+3ab² + b³
x³ = (a³+b³) + 3ab(a+b)
x³ = 10 + 3.(-3) x
x³ = 10-9x

Segue que x é uma raiz da equação t³ + 9t - 10 = 0. Por inspeção, observamos que t= 1 é uma dessas raízes. Fatorando obtemos:
t³+9t-10 = (t-1)(t²+t+10)
Notamos que as raízes de t²+t+10 = 0 não são reais. Ou seja, t³+9t-10 = 0 possui uma única raiz real, que é t = 1. Como x é um número real, segue que x = 1. Logo:

\(\sqrt[3]{5+2\sqrt {13}} + \sqrt[3]{5-2\sqrt {13}} = 1\)

DaoSeek escreveu:Sejam \(a = \sqrt[3]{5+2\sqrt {13}} \) e \(b = \sqrt[3]{5-2\sqrt {13}}\)

Observamos que  \(a^3 + b^3 = 10\)  e que  \(ab = \sqrt[3]{25 - 2^2\cdot 13} = \sqrt[3]{-27} = -3\)

Queremos calcular x = a+b. Elevando ao cubo obtemos:

x³ = a³+3a²b+3ab² + b³
x³ = (a³+b³) + 3ab(a+b)
x³ = 10 + 3.(-3) x
x³ = 10-9x

Segue que x é uma raiz da equação t³ + 9t - 10 = 0. Por inspeção, observamos que t= 1 é uma dessas raízes. Fatorando obtemos:
t³+9t-10 = (t-1)(t²+t+10)
Notamos que as raízes de t²+t+10 = 0 não são reais. Ou seja, t³+9t-10 = 0 possui uma única raiz real, que é t = 1. Como x é um número real, segue que x = 1. Logo:

\(\sqrt[3]{5+2\sqrt {13}} + \sqrt[3]{5-2\sqrt {13}} = 1\)

Fiquei curioso, pq não é possível resolver essa questão utilizando da Identidade de Báskhara (Radical Duplo)?

Não sei que identidade é essa que você falou.


Mas se for essa aqui

\( \displaystyle \sqrt{A+\sqrt B} = \sqrt{\dfrac{A + \sqrt{A^2 - B}}2} + \sqrt{\dfrac{A - \sqrt{A^2 - B}}2} \)

não da pra usar pois na questão temos uma raiz cubica e na identidade temos apenas quadradas.