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[Produtos Notáveis] A soma de...
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[Produtos Notáveis] A soma de...
por SrJorgensen Seg 08 Jul 2024, 08:40
A soma de [latex]\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}} + \sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}[/latex] é igual a:
Gab: 1
Gab: 1
Última edição por SrJorgensen em Seg 08 Jul 2024, 10:39, editado 1 vez(es)
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Re: [Produtos Notáveis] A soma de...
por DaoSeek Seg 08 Jul 2024, 09:47
Sejam \(a = \sqrt[3]{5+2\sqrt {13}} \) e \(b = \sqrt[3]{5-2\sqrt {13}}\)
Observamos que \(a^3 + b^3 = 10\) e que \(ab = \sqrt[3]{25 - 2^2\cdot 13} = \sqrt[3]{-27} = -3\)
Queremos calcular x = a+b. Elevando ao cubo obtemos:
x³ = a³+3a²b+3ab² + b³
x³ = (a³+b³) + 3ab(a+b)
x³ = 10 + 3.(-3) x
x³ = 10-9x
Segue que x é uma raiz da equação t³ + 9t - 10 = 0. Por inspeção, observamos que t= 1 é uma dessas raízes. Fatorando obtemos:
t³+9t-10 = (t-1)(t²+t+10)
Notamos que as raízes de t²+t+10 = 0 não são reais. Ou seja, t³+9t-10 = 0 possui uma única raiz real, que é t = 1. Como x é um número real, segue que x = 1. Logo:
\(\sqrt[3]{5+2\sqrt {13}} + \sqrt[3]{5-2\sqrt {13}} = 1\)
Observamos que \(a^3 + b^3 = 10\) e que \(ab = \sqrt[3]{25 - 2^2\cdot 13} = \sqrt[3]{-27} = -3\)
Queremos calcular x = a+b. Elevando ao cubo obtemos:
x³ = a³+3a²b+3ab² + b³
x³ = (a³+b³) + 3ab(a+b)
x³ = 10 + 3.(-3) x
x³ = 10-9x
Segue que x é uma raiz da equação t³ + 9t - 10 = 0. Por inspeção, observamos que t= 1 é uma dessas raízes. Fatorando obtemos:
t³+9t-10 = (t-1)(t²+t+10)
Notamos que as raízes de t²+t+10 = 0 não são reais. Ou seja, t³+9t-10 = 0 possui uma única raiz real, que é t = 1. Como x é um número real, segue que x = 1. Logo:
\(\sqrt[3]{5+2\sqrt {13}} + \sqrt[3]{5-2\sqrt {13}} = 1\)
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Re: [Produtos Notáveis] A soma de...
por SrJorgensen Seg 08 Jul 2024, 10:49
Fiquei curioso, pq não é possível resolver essa questão utilizando da Identidade de Báskhara (Radical Duplo)?DaoSeek escreveu:Sejam \(a = \sqrt[3]{5+2\sqrt {13}} \) e \(b = \sqrt[3]{5-2\sqrt {13}}\)
Observamos que \(a^3 + b^3 = 10\) e que \(ab = \sqrt[3]{25 - 2^2\cdot 13} = \sqrt[3]{-27} = -3\)
Queremos calcular x = a+b. Elevando ao cubo obtemos:
x³ = a³+3a²b+3ab² + b³
x³ = (a³+b³) + 3ab(a+b)
x³ = 10 + 3.(-3) x
x³ = 10-9x
Segue que x é uma raiz da equação t³ + 9t - 10 = 0. Por inspeção, observamos que t= 1 é uma dessas raízes. Fatorando obtemos:
t³+9t-10 = (t-1)(t²+t+10)
Notamos que as raízes de t²+t+10 = 0 não são reais. Ou seja, t³+9t-10 = 0 possui uma única raiz real, que é t = 1. Como x é um número real, segue que x = 1. Logo:
\(\sqrt[3]{5+2\sqrt {13}} + \sqrt[3]{5-2\sqrt {13}} = 1\)
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Re: [Produtos Notáveis] A soma de...
por DaoSeek Seg 08 Jul 2024, 12:20
Não sei que identidade é essa que você falou.
Mas se for essa aqui
\( \displaystyle \sqrt{A+\sqrt B} = \sqrt{\dfrac{A + \sqrt{A^2 - B}}2} + \sqrt{\dfrac{A - \sqrt{A^2 - B}}2} \)
não da pra usar pois na questão temos uma raiz cubica e na identidade temos apenas quadradas.
Mas se for essa aqui
\( \displaystyle \sqrt{A+\sqrt B} = \sqrt{\dfrac{A + \sqrt{A^2 - B}}2} + \sqrt{\dfrac{A - \sqrt{A^2 - B}}2} \)
não da pra usar pois na questão temos uma raiz cubica e na identidade temos apenas quadradas.
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