Soma - Produtos Notáveis (2)

por Hoshyminiag Dom 11 Jan 2015, 15:40

Sendo (1 - 1/3²) . (1 - 1/4²) . (1 - 1/5²) ... (1 - 1/2003²) = x/2003, o valor de x é:

a) 1338
b) 1336
c) 2001
d) 2002
e) 2003

Gab.: B

por L.Lawliet Dom 11 Jan 2015, 18:31

Hoshyminiag,eu acho que é o seguinte:

$\prod_{3}^{2003}1-\frac{1}{k^2}=\prod_{3}^{2003}\frac{(k+1)(k+1)}{k^2}=\frac{2}{3}.2003.\frac{2004}{2003^2}=\frac{1336}{2003}$

O que acha?

por Hoshyminiag Dom 11 Jan 2015, 18:35

Não faço a mínima ideia do que esses símbolos significam haha Pode traduzir ?

por L.Lawliet Dom 11 Jan 2015, 19:11

Como voce é do Ensino fundamental (postei essa resolução por acha que voce soubesse, foi mal!), deixa algum colega responder de uma outra forma para nao acabar te confundindo.

por **Elcioschin** Dom 11 Jan 2015, 19:12

O símbolo ∏ denomina-se produtório
Nesta questão significa o produto de todos os termos (1 - 1/k²) com k variando de 3 até 2003

Em seguida fez-se k = 2003

Faltou apenas o L.Lawliet explicar de onde surgiu o fator 2/3

por L.Lawliet Dom 11 Jan 2015, 19:13

Do inicio do produtorio, Elcioschin.

por Hoshyminiag Dom 11 Jan 2015, 19:32

Essa questão também pode ser feita por Produtos Notáveis ?

por Luck Dom 11 Jan 2015, 23:19

Elcio, ele não fez k = 2003. O que o L.Lawliet fez foi colocar o resultado de um produto telescópico, daí que surge o 2/3 :

P = ∏ (k-1)(k+1)/k² , k de 3 a 2003
P = [(2.4)/3²][(3.5)/4²][(4.6)/5²][(5.7)/6²]...[(2001.2003)]/2002²][(2002.2004)/2003²]
Note que todos os termos se cortam, com exceção de (2/3) no primeiro fator e (2004)/2003 no último fator.
P = (2/3)(2004/2003)
P = 1336/2003