Exercício de números complexos

por MardyBum Qua 12 Nov 2014, 13:47

Sendo 2z + iz* = 22 + 29i, em que i é a unidade imaginária e z* o conjugado complexo de z, podemos afirmar que o módulo de z é igual a:
a) 5
b) 7
c) 12
d) 13
e) 17

Segundo a minha resolução, o resultado foi 17... Mas foi o mais próximo entre os resultados. Aqui está o meu procedimento:

2(a+bi) + i(a-bi) = 22 + 29i

2(a+bi)=22
a+bi=11 (I)

i(a-bi)=29i
a-bi=29 (II)

Eu resolvi um sistema entre I e II e os resultados foram:
a=20 e b=9i

Como o módulo de z é z=√a² + b²:

|z|=√20² + (9i)²

|z|=√319
|z|≈17,8

Gostaria de saber se errei em alguma parte... Obrigada!

por **Jader** Qua 12 Nov 2014, 14:20

Desenvolva primeiro a expressão para depois usar a identidade dos complexos.

2(a+bi) + i(a-bi) = 22+29i
2a + 2bi + ai + b = 22 + 29i
(2a+b) + (a + 2b)i = 22 + 29i

Agora usando a igualdade dos complexos, temos:

2a+b = 22 (I)
a+2b = 29 (II)

Resolvendo o sistema acharemos a = 5 e b = 12

Portanto o complexo será z = 5 + 12i

|z| = √ (5)² + (12)² = √ 25 + 144 = √ 169 = 13.

Espero ter ajudado.

por **Ashitaka** Qua 12 Nov 2014, 14:24

Well, now then Mardy Bum
Oh I'm in trouble again, aren't I?

2(a+bi) + i(a-bi) = 22 + 29i
2a + 2bi + ai + b = 22 + 29i
2a + b + i(a + 2b) = 22 + 29i

2a + b = 22 I
a + 2b = 29 II

I + II
a + b = 51/3 = 17 ---> a = 17 - b

17 - b + 2b = 29
b = 29 - 17 = 12

Portanto, temos a = 5 e b = 12, o que nos dá |z| = 13.

See you, Howl!