Encontrar ponto mais próximo

No plano cartesiano, a cidade de Recife, no estado de Pernambuco, está representado pelo ponto cujas coordenadas são (3,3).

Suponho que a reta represente a trajetória de um avião, expressa pela equação X+2Y=6.

Nessas condições, o avião se encontra mais próximo da cidade de Recife no ponto da trajetória cujas coordenadas são:

a) (5/12 , -13/6)

b) (7,11)

c) (-12/5 , -27/5 )

d) (12/5 , 9/5)

e) (3, 3/2)

P=(3, 3)
(r): x + 2y = 6 ----> x + 2y - 6 = 0

d(P,r) = |1.3 + 2.3 - 6|/√(1² + 2²) = 3/√5 = 3√5/5

a circunferência com centro em P(3,3) e raio d tangencia a reta r.
eq. da circunf.: (x-3)² + (y-3)² = (3√5/5)²
(r): x = 6 - 2y .................. subst. na eq. da circunf.

(3-2y)² + (y-3)² = 9/5
25y² - 90y + 81 = 0
y = 90/50 -----> y = 9/5 ------> x = 12/5 ............ alt. (d)

Medeiros escreveu:P=(3, 3)
(r): x + 2y = 6 ----> x + 2y - 6 = 0

d(P,r) = |1.3 + 2.3 - 6|/√(1² + 2²) = 3/√5 = 3√5/5

a circunferência com centro em P(3,3) e raio d tangencia a reta r.
eq. da circunf.: (x-3)² + (y-3)² = (3√5/5)²
(r): x = 6 - 2y .................. subst. na eq. da circunf.

(3-2y)² + (y-3)² = 9/5
25y² - 90y + 81 = 0
y = 90/50 -----> y = 9/5 ------> x = 12/5 ............ alt. (d)

d(P,r) = |1.3 + 2.3 - 6|/√(1² + 2²) - > nesse momento, foi utilizado qual equação? Seria para achar a distancia entre dois pontos? d(P,r)=deltaX + deltay? (não entendi a raiz no denominador)


Vou da uma lida na eq. da circunferência para tentar entender melhor!

foi usada a eq. para cálculo da distância de ponto (P) à reta (r). Vou repetir abaixo colorindo os valores para facilitar a identificação da origem de cada um.
ponto: P(3, 3)
reta: (r): x + 2y - 6 = 0

d(P,r) = |1.3 + 2.3 - 6|/√(1² + 2²)

Sim até essa parte eu entendi. Primeiro você calcula a distância entre os dois pontos com D(p,r)= √(x-y)² + (x-y)² onde o resultado deu 3! Eu não entendi essa parte: √(1² + 2²). Não me lembro dessa equação na Geometria Analítica não.

nada disso, companheiro.

Aquela é a fórmula para calcular a distância de Ponto à Reta -- d(P,r) --, revise a teoria no seu livro, a fórmula é desse jeito. No radicando são usados os coeficientes das variáveis da reta.

Já sabemos qual é a distância mas ainda não sabemos em que ponto da reta acontece essa distância. Para isso, considero a circunferência com centro no ponto P e raio igual a distância (d) e verifico em que ponto a reta e a circunferência coincidem. Como não dá para trabalhar com duas variáveis, isolo uma delas na eq. da reta e substituo na eq. da circunf.; acho uma delas e, aí, substituo o valor achado na eq. da reta (porque fica mais fácil) e acho a outra. Esses valores encontrados são as coordenadas do ponto procurado.

Medeiros escreveu:nada disso, companheiro.

Aquela é a fórmula para calcular a distância de Ponto à Reta -- d(P,r) --, revise a teoria no seu livro, a fórmula é desse jeito. No radicando são usados os coeficientes das variáveis da reta.

Já sabemos qual é a distância mas ainda não sabemos em que ponto da reta acontece essa distância. Para isso, considero a circunferência com centro no ponto P e raio igual a distância (d) e verifico em que ponto a reta e a circunferência coincidem. Como não dá para trabalhar com duas variáveis, isolo uma delas na eq. da reta e substituo na eq. da circunf.; acho uma delas e, aí, substituo o valor achado na eq. da reta (porque fica mais fácil) e acho a outra. Esses valores encontrados são as coordenadas do ponto procurado.

Adorei a explicação Medeiros! Aprendi. Consegui compreender agora! Muito obrigado!