Ponto mais distante

Bom dia, 

x²+y²-6x-2y+9=0, arrumando e completando quadrado, temos:


(x-3)² + (y-1)² = 1 


Circunferência de centro (3,1) e raio 1.


A reta secante a circunferência e que passa por (5,3) também possui o ponto mais distante e ainda essa reta tem que passar pelo centro da circunferência dado que queremos a maior distãncia, logo nossa reta secante usando o ponto (5,3) e o centro da circunferência (3,1).

3 = 5a +b  (i)
1 = 3a + b  (ii)

(i)-(ii):

2 = 2a -> a = 1
b = -2

y = x -2

Agora temos que resolver o sistema para descobrir os dois pontos que a reta é secante

(x-3)² + (y-1)² = 1 
y = x-2

Substitua y = x -2 na equação da circunferência, vai chegar numa equação do 2º com duas raízes (dois pontos) o maior é o ponto mais distante.

Tente continuar, qualquer coisa comenta aqui ok

Outra coisa também que acho interessante para visualizar é construir o gráfico da circunferência e marcar o ponto.

Opa, vou deixar o gráfico aqui só para complementar a resposta do  @Emanoel Mendonça.
Vale ressaltar também que a reta em questão nos dá tanto o ponto de distância mínima quanto o de distância máxima.

sugestão para evitar conta a partir da solução do Emanoel.
Em vez de substituir y = x - 2 na eq. da circunf. e resolver uma equação quadrática, conhecido o raio = 1 usar semelhança de triângulos -- e aqui nem precisa porque o triângulo é retângulo isósceles.

Medeiros escreveu:sugestão para evitar conta a partir da solução do Emanoel.
Em vez de substituir y = x - 2 na eq. da circunf. e resolver uma equação quadrática,  conhecido o raio = 1 usar semelhança de triângulos -- e aqui nem precisa porque o triângulo é retângulo isósceles.

Pura elegância.