Escola Naval Geometria Analitica

por Gabriel EFOMM12345 Seg 19 maio 2014, 16:50

A reta r tangente à curva da equação x-(xy)^1/2+y=1, no ponto P=(x,y), é paralela ao eixo das abscissas. Pode-se afirmar também que o ponto P pertence a reta de equação:

A) x=0

B) y=1

C) y-x+2=0

D) y-x-1=0

E) 3y+3x+-1=0

por **Willian Honorio** Qua 24 Jan 2018, 17:01

Derivando implicitamente y com relação a x:

$x-\sqrt{xy}+y=1\\\frac{d}{dx}\left ( x-\sqrt{xy}+y \right )=\frac{d}{dx}1\\\\x'-\frac{(xy)'}{2.\sqrt{xy}}+y'=0\\\\1-\left [\frac{x'.y+y'.x}{2.\sqrt{xy}} \right ]+y'=0\\\\\\1-\frac{y+y'.x}{2.\sqrt{xy}}+y'=0\Rightarrow \frac{2.\sqrt{xy}-y-y'.x+2.y'.\sqrt{xy}}{2.\sqrt{xy}}=0\\\\x,y\neq 0\\\therefore \\2.\sqrt{xy}-y-y'.x+2.y'.\sqrt{xy}=0\\\\y'=\frac{2.\sqrt{xy}-y}{x-2\sqrt{xy}}$

Em P:

$y'|_{P(x,y)}=\frac{2.\sqrt{xy}-y}{x-2\sqrt{xy}}\\\\(r)\setminus \setminus Oy\rightarrow y'|_{P(x,y)}=0\\\\2.\sqrt{xy}=y\\y^{2}-4.xy=0\rightarrow y(y-4x)=0\Leftrightarrow y=4x\\\\x-\sqrt{xy}+y=1\\x-\sqrt{x.4.x}+4x=1\rightarrow x=\frac{1}{3}\rightarrow y=\frac{4}{3}\\\therefore \\\boxed{P\left (\frac{1}{3},\frac{4}{3} \right )}$

A reta da alternativa D contém o ponto P.

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