Raízes do polinômio

por Handrix 2/6/2010, 11:56 am

Bom dia!

Determine as raízes racionais de f(x) e, escreva f(x) como um produto de fatores lineares:

$f(x)=x^{3}+6x^{2}+11x+6$

Sei resolver o polinômio encontrando suas raízes. A minha dúvida está em colocá-lo como um produto de fatores lineares. Encontrei como raízes:

$\left \{ \right.-1,-2,-3\left. \right \}$

No meu modo de pensar, colocando como forma de produto de fatores lineares, seria:

$(x-1)(x-2)(x-3)$

O gabarito diz: $(x+1)(x+2)(x+3)$

Por que inverte-se o sinal das raízes?

por **Jose Carlos** 2/6/2010, 12:26 pm

Olá,

Observe por exemplo o polinômio:

f(x) = x² - 5x + 6

x² - 5x + 6 = 0 => raízes: x1 = 3 ou x2 = 2

Para escrevermos um polinômio como um produto de fatores lineares devemos fazer:

f(x) = ( x - x1 )*( x - x2 )

f(x) = ( x - 3 )*( x - 2 )

Como suas raízes encontradas foram: x1 = - 1 ; x2 = - 2 e x3 = - 3

Logo: f(x) = [ x - (-1) ) ]*[ x - (-2) ]*[ x - (-3) ] = ( x + 1 )*( x + 2 )*( x + 3)

por **rafaasot** 2/6/2010, 12:38 pm

Não sei se entendi o que você quis dizer, mas a fórmula é (x - raiz)

Logo, se as raízes são {-1, -2, -3}

Ficaria:

(x -(-1)) (x-(-2)) (x-(-3)) ----------------> (x+1)(x+2)(x+3)

Se a dúvida for somente essa, o que aconteceu foi um jogo de sinais.

por Handrix 2/6/2010, 12:42 pm

Olá Jose e rafaasot,

desculpe ficar perguntando muito, mas é porque tenho muitas dúvidas.

Jose, no exemplo que o sr. forneceu também encontrei as mesmas raízes reais, mas a minha dúvida ainda persiste. A minha dúvida está em compreender o motivo da inversão do sinal quando colocado como um produto de fatores lineares.

Em seu exemplo: f(x) = ( x - x1 )*( x - x2 )

Jose e rafaasot, em outras palavras, por que acontece o "jogo de sinal"?

Entenderam o que estou querendo entender?

por **rafaasot** 2/6/2010, 12:50 pm

Não tô entendendo muito bem o que vc quer dizer, mas veja se é isso, você quer saber o porquê da fórmula ?

Imagine que a solução de uma equação é x = 1

Se passarmos o 1 pra esquerda ficará x -1 = 0

Ou seja, é a mesma coisa, daí a fórmula.

Se eu estiver errado, o JC pode me corrigir.

por **Jose Carlos** 2/6/2010, 1:22 pm

Olá Handrix,

Teorema da Decomposição

Todo polinômio P de grau n ( n >= 1 )

P = an*x^n + an-1*x^n-1 + ...... + a1*x + a0 ( an <> 0 )

pode ser decomplosto em n fatores do primeiro grau, isto é:

P = An*(x - r1)*(x - r2)*(x - r3)*.....*(x - rn )

onde r1, r2, r3, ..... , rn são as raízes de P.

A menos da ordem dos fatores tal decomposiçãqo é única.