Raízes - Polinômio

Calcule todas raízes do polinômio sabendo que este divide o polinômio

Hola Fafa.

Veja a solução do nosso grande moderador Elcio:

Este é "complexo"

x^5 - 1 = (x - 1)*(x^4 + x³ + x² + x + 1) ---> x^5 - 1 = (x - 1)*p(x) --->Todas as raízes de p(x) são também raízes de x^5 - 1

Uma das raízes de x^5 - 1 = 0 é x = 1

x^5 - 1 = 0 ----> x^5 = 1 ---> x^5 = cos0 + i*sen0

x = cos(k*360º/5) + i*sen(k*360º/5) ----> x = cos(k*72º) + i*sen(k*72º)

Para k = 0 ----> x = 1 ----> Já sabíamos

Para k = 1 ----> x = cos72º + i*sen72º ----> x = (V5 - 1)/4 + i*(V5 + 1)/4

Para k = 2 ----> x = cos144º + i*sen144 ----> x = - (V5 + 1)/4 + i*V(10 - V20)/4

Para k = 3 e k = 4 nem é preciso fazer as contas, pois as raízes complexas conjugadas também são raízes:


As 4 raízes são:

(V5 - 1)/4 + i*(V5 + 1)/4
(V5 - 1)/4 - i*(V5 + 1)/4
- (V5 + 1)/4 + i*V(10 - V20)/4
- (V5 + 1)/4 - i*V(10 - V20)/4