Raízes do polinômio

Bom dia prezados usuários do Pir²

Dado o polinômio , determine todas as raízes reais e complexas não-reais, suas multiplicidades e dê a decomposição do polinômio em produto de potências de fatores mônicos irredutíveis em R[x].

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

Olá,

- 2*(x^6) + 2 = 0 => - 2*(x^6) = - 2 => x^6 = 1

Z = 1 => | z |= 1

cos a = 1/1 => cos a = 1 => a = 2*pi

Zk = 1^(1/6) * { [ cos [(2*pi/6) + k*(2*pi/6) + i*[ sen [2*pi/6) + k*(2*pi/6) ] }, k = 0, 1, 2, .... , 5

para k = 0 -> [cos (pi/3) + i*sen (pi/3) ] = ( 1/2 ) + i*(/3)/2

para k = 1 -> { cos [(2*pi/6)+ (2*pi/6)] + i*[ sen [(2*pi/6) + (2*pi/6) ] } = cos (2*pi/3) + i*sen (2*pi/3) = - (1/2) + i*(/3)/2

para k = 2 -> { cos [(2*pi/6)+ (4*pi/6)] + i*[ sen [(2*pi/6) + (4*pi/6) ] } = cos (pi) + i*sen (pi) = - 1

para k = 3 -> { cos [(2*pi/6)+ (6*pi/6)] + i*[ sen [(2*pi/6) + (6*pi/6) ]' } = cos (4*pi/3) + i*sen (4*pi/3) = - (1/2) - i*(/3)/2

para k = 4 ->{ cos [(2*pi/6)+ (8*pi/6)] + i*[ sen [(2*pi/6) + (8*pi/6) ] } = cos (5*pi/3) + i*sen (5*pi/3) = 1/2 - i*(/3)/2

para k = 5 -> { cos [(2*pi/6)+ (10*pi/6)] + i*[ sen [(2*pi/6) + (10*pi/6) ] } = cos (2*pi) + i*sen (2*pi) = 1

- todas as raízes são de multiplicidade 1

- decompsição:

( x - Z0)*( x - Z1)*( x - Z2 )*( x - Z3 )*( x - Z4 )*( x - Z5 )

Bom dia prezado José Carlos!

Estive analisando sua resolução e confesso que a achei interessante (você resolveu demonstrando conhecimento em números complexos). O único problema é se tratar de uma solução muito extensa e cansativa.

Comecei a resolver aplicando Briott Ruffini e encontrei duas das raízes, reduzindo o polinômio em grau 4.

Encontrei

Como encontrar as demais raízes do polinômio de grau 4 que encontrei?

Atenciosamente,

Pietro di Bernadone

Pietro

Em princípio NÃO dá para resolver por Briot-Rufinni, pois as raízes não são conhecidas.

Dá para resolver por "advinhação", simplesmente notando que +1 é raiz e -1 é raiz
Só que, nem sempre dá para resolver assim: imagine se duas raízes fossem 1/7 e 2/9; como é que você descobriria?

Assim o método do José Carlos é o único método algébrico que resolve qualquer problema deste tipo.