Trigonometria dúvida

por NATHGOOL Sáb 26 Abr 2014, 15:32

Simplifique: tan1° . tan2°. tan3°.....tan89°

cos4° + cos8° + cos12° +...+cos356°

Resposta -1

por **Elcioschin** Sáb 26 Abr 2014, 17:38

1) Numerador ---> juntando termos equidistantes do termo central tg45º

tg(1º + 89º) = (tg1º + tg89º)/(1 - tg1º.tg89º) --->

tg90º = (tg1º + tg89º)/(1 - tg1º.tg89º) ---> 1 - tg1º.tg89º = (tg1º + tg89º)/tg90º

Mas tg90º ~= ∞ ---> 1/tg90º = 0 ---> 1 - tg1º.tg89º = 0 ---> tg1º.tg89º = 1

Do mesmo modo tg2º.tg88º = tg3º.tg87º = ....... = tg44ºtg46º = tg45º = 1

Numerador = 1.1. .... .1. .... .1.1 = 1

2) Denominador: cosp + cosq = 2.cos[(p + q)/2].cos[(p - q)/2]

co356º + cos4º ---> p = 356º ---> q = 4º ---> (p + q)/2 = 180º ---> (p - q)/2 = 176º

cos4º + cos356º = 2.cos180º.cos176º = - 2.cos176º

Continue para cos352º + cos8º .....

por NATHGOOL Sáb 26 Abr 2014, 18:31

o númerador eu entendi muito obrigada mestre, mas eu nao conseguir entender como chegar a -1 no denominador Question

por Luck Sáb 26 Abr 2014, 23:49

N = tg1º.tg2º.tg3º....tg89º

tg(90º-x) = cotg(x) :

tg89º = cotg1º
tg88º = cotg2º
tg87º = cotg3º
...
tg46º = cotg44º
Então temos no numerador: N = (tg1º.cotg1º)(tg2º.cotg2º)....(tg44ºcotg44º).tg45º = 1

D = cos4º + cos8º + cos12º + .... + cos356º

cosx = -cos(180º+x):

cos4º = -cos(184º)
cos8º = -cos(188º)
....
cos(172º) =-cos(352º)
cos(176º) = -cos(356º)
Então todos os termos da soma cortam sobrando apenas o cos(180º) = -1

N/D = -1