Integral definida

por JessicaAraujo Seg 14 Abr 2014, 21:25

Olá...

Fiz a substituição u= cos t de modo que du= - sen t dt
alterando os limites de integração para -1 e 1, só que a partir daí não consigo.
Podem me ajudar a concluir?

[img] Integral definida Hvnjg7

[/img]

por Man Utd Seg 14 Abr 2014, 22:23

$\\\\\\ -\int_{1}^{-1} \; \frac{du}{(5+u^2)^{\frac{5}{2}}} \\\\\\ \int_{-1}^{1} \; \frac{du}{(5+u^2)^{\frac{5}{2}}}$

Perceba que a função integrando é par, então usando a propriedade da função par :

$\\\\\\ 2 \times \int_{0}^{1} \; \frac{du}{(5+u^2)^{\frac{5}{2}}}$

$\\\\\\ 2 \times \int_{0}^{1} \; \frac{du}{(5(1+\frac{u^2}{5}))^{\frac{5}{2}}} \\\\\\ 2 \times \int_{0}^{1} \; \frac{du}{(5)^{\frac{5}{2}}*(1+\frac{u^2}{5})^{\frac{5}{2}}} \\\\\\ \frac{2}{25\sqrt 5} \times \int_{0}^{1} \; \frac{du}{(1+\frac{u^2}{5})^{\frac{5}{2}}} \\\\\\ \frac{2}{25\sqrt 5} \times \int_{0}^{1} \; \frac{du}{(1+\left( \frac{u}{ \sqrt 5}\right)^2)^{\frac{5}{2}}}$

Faça a substituição : $\\\\\\ \frac{u}{\sqrt 5}=tg \theta \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; du=\sqrt{5} sec^{2}\theta \; d\theta$

$\\\\\\ \frac{2}{25} \times \int \; \frac{sec^{2} \theta}{\left(1+tg^{2}\theta \right )^{\frac{5}{2}}}\; d\theta \\\\\\ \frac{2}{25} \times \int \; \frac{sec^{2} \theta}{\left(sec^{2}\theta\right )^{\frac{5}{2}}}\; d\theta \\\\\\ \frac{2}{25} \times \int \; \frac{sec^{2} \theta}{sec^{5}\theta}\; d\theta \\\\\\ \frac{2}{25} \times \int \; cos^{3} \theta \; d\theta$

Tente terminar, qualquer coisa retorne. Very Happy

por JessicaAraujo Ter 15 Abr 2014, 19:15

Certo, mas ai como aplicar os limites de integração a partir de agora?

por Man Utd Ter 15 Abr 2014, 20:07

JessicaAraujo escreveu:Certo, mas ai como aplicar os limites de integração a partir de agora?

Vc tem que integrar e depois retornar a variável "u" para pode aplicar os limites de integração.(acho essa maneira mais simples, do que substituir por um intervalo correspondente).

$Integral definida Gif$

Faça a substituição : $Integral definida Gif$ :

$Integral definida Gif$

Agora retornemos a variavel "u", pelo triângulo retângulo de hipotenusa: $Integral definida Gif$ ,cateto adjacente: $Integral definida Gif$ e cateto oposto $Integral definida Gif$ .segue que $Integral definida Gif$ :

$\\\\\\ \frac{2}{25}\; \times \; \left[\frac{u}{\sqrt{u^2+5}}-\frac{\left( \frac{u}{\sqrt{u^2+5}} \right)^3}{3} \right]_{0}^{1}$

Agora é só aplicar os limites de integração.