Condições de a, b e c

por Danilevicz Qua 19 Fev 2014, 20:38

267. Dada a circunferência de equação x² + y² - ax - by + c = 0, que condições a, b e c devem satisfazer para que ela seja tangente ao eixo dos x?

Resposta:

c = a²/4 e b qualquer

Fundamentos de Matemática Elementar 7 - Geometria Analítica - 5º edição - Gelson Iezzi - Questão 267.

por PedroCunha Qua 19 Fev 2014, 21:26

Olá.

Centro da circunferência é:

C: (-a/-2, -b/-2) .:. C(a/2, b/2)

R² = (a/2)² + (b/2)² - c .:. R² = (a²+b²)/4 - c

Equação da circunferência:

(x- a/2)² + (y - b/2)² = (a²+b²)/4 - c

Se é tangente ao eixo x, passa por um ponto P(p,0) qualquer. Seja p = a/2 para facilitar as contas. Temos então:

(a/2 - a/2)² + (0 - b/2)² = (a²+b²)/4 - c .:. 0 + b²/4 = a²/4 + b²/4 - c .:. c = a²/4

b pode ser qualquer ponto.

Logo: c = a²/4 e b qualquer.

Att.,
Pedro

por PedroCunha Qua 19 Fev 2014, 21:37

Ou ainda:

Para uma circunferência ser tangente ao eixo x, o valor da ordenada do centro deve ser igual ao raio (faça um desenho para verificar), logo:

yc = R .:. yc² = R² .:. b²/4 = (a²+b²)/4 - c .:. b²/4 = (a²+b² - 4c)/4 .:. b² = a² + b² - 4c .:.
a² - 4c = 0 .:. a² = 4c .:. c = a²/4, b qualquer

Att.,
Pedro

por leonardokkk Sáb 17 Set 2022, 12:28

O b Nao deveria ser diferente de 0?
Já que a^2 + b^2 - 4c > 0 , e como c =a^2/4:
a^2 + b^2 -4 * a^2/4 > 0 => b^2 > 0
Então b diferente de 0

por **Elcioschin** Sáb 17 Set 2022, 17:26

Não

Note que, a circunferência sendo tangente ao eixo x, ela passa por um único ponto do eixo x: P(x, 0)

Fazendo portanto y = 0 teremos ---> x² - a.x + c = 0

Para se ter um único valor de x, esta equação deverá ter uma raiz dupla: ∆ = 0

∆ = (-a)² - 4.1.c ---> 0 = a² - 4.c ---> c = a²/4

O valor de b não vai interferir no fato da circunferência ser tangente ao eixo x.
Vai ser importante apenas para o valor do raio da circunferência. Logo, b pode ser qualquer valor real

por leonardokkk Dom 18 Set 2022, 10:34

Elcioschin escreveu:Não

Note que, a circunferência sendo tangente ao eixo x, ela passa por um único ponto do eixo x: P(x, 0)

Fazendo portanto y = 0 teremos ---> x² - a.x + c = 0

Para se ter um único valor de x, esta equação deverá ter uma raiz dupla: ∆ = 0

∆ = (-a)² - 4.1.c ---> 0 = a² - 4.c ---> c = a²/4

O valor de b não vai interferir no fato da circunferência ser tangente ao eixo x.
Vai ser importante apenas para o valor do raio da circunferência. Logo, b pode ser qualquer valor real

Obrigado, mestre!