(UFMG) - Função

por João Vítor1 Sáb 01 Fev 2014, 11:58

A secção transversal de um túnel tem a forma de um arco de parábola com 10m de largura na base e 6 m de altura. De cada lado é reservado 1,5 m para passagem de pedestre e o restante é dividido em duas pistas para veículos. As autoridades só permitem que um veículo passe por esse túnel caso tenha uma altura de, no máximo, 30 cm a menos do que a altura mínima do túnel sobre as pistas de veículos. Determine a altura máxima e média que um veículo pode ter para que a sua passagem pelo túnel seja permitida? Que conclusões tiras sobre o problema abordado acima, justifique mecanicamente.

Gabarito: 2,76m

por **Medeiros** Sáb 01 Fev 2014, 13:43

considere o túnel como uma parábola com concavidade para baixo, simétrico ao eixo y, e tocando o eixo x em -5 e +5. A eq. desta parábola é:
y = a(x+5)(x-5) = a(x²-5²) -----> y = a(x² - 25)

para x=0 temos o vértice da parábola, que é a altura máx. do túnel:
6 = a(0² - 25) -----> a = -6/25

finalmente, a eq. completa da parábola é: ----> y = -6x²/25 + 6

a pista de rolamento tem 3,5m para cada lado.
p/ x=3,5 ----> y = (-6/25)*3,5² - 6 ------> y = 3,06

portanto 3,06m é a altura do túnel no limite entre a calçada e a faixa de rolamento. Um veículo está limitado a 0,3m abaixo disto. Logo
hmáx = 3,06 - 0,3 -----> hmáx = 2,76 m

por jenkidama Sáb 01 Fev 2014, 14:20

Olá Medeiros, queria saber o porquê dessa parte ,y = a(x+5)(x-5) .

por João Vítor1 Sáb 01 Fev 2014, 14:23

Medeiros, qual é a fórmula que você usou para substituir as raízes?

por PedroCunha Sáb 01 Fev 2014, 14:35

É a forma fatorada de uma equação qualquer. Sejam x1,x2,x3 ... xn as raízes de uma equação qualquer e a o coeficiente dominante (aquele que acompanha o termo de maior grau). A equação pode ser dada por: a * (x - x1) * (x - x2) * (x - x3) * ... * (x - xn)

Entendeu?

Att.,
Pedro

por jenkidama Sáb 01 Fev 2014, 15:23

Sim entendi Pedro, mas eu queria saber , onde estão os termos bx e c , da função y=ax²+bx+c.

por **Medeiros** Sáb 01 Fev 2014, 15:51

Jenkidama,
reconheces a função y = x² ? Pois é, aqui também não tem os termos "bx" e "c".

Para ser uma função do 2º grau a condição necessária e suficiente é existir o termo "x²". Então, basta que o coeficiente "a" seja diferente de zero.

Neste caso, para facilitar minhas contas, propositadamente construí a parábola com vértice sobre o eixo y e não há o termo "bx".

Experimente fazer as raízes serem x1=0 e x2=10. Faça e veja o que acontece.

Abs.

por jenkidama Sáb 01 Fev 2014, 16:11

Então caro amigo Medeiros, na sua resolução você estava inserindo a parabola simétricamente sendo x1=-5 e x2=5, até ae eu entendi o porque não temos o termo bx , sendo b=0, mas ae que entra minha dúvida , porque você fez c=0 e a=1??! como descobrir que esses coeficientes possuem esse valor??

Tentei achalos pela soma e produto , e tambem pelos pontos maximos, mas apenas consegui encontrar que o b=0 .

muito obrigado pela Atenção .

por **Medeiros** Sáb 01 Fev 2014, 16:27

porque você fez c=0 e a=1??! como descobrir que esses coeficientes possuem esse valor??

companheiro, NÃO fiz c=0 e nem a=1. O que fiz, conforme o Pedro explicou, foi
y = a(x-5)(x+5) -----> y = a(x² - 25)
ou, escrito de outra forma
y = ax² - 25a
Note que c=-25a.

Como, na sequência, usei o ponto do vértice (0, 6) para achar o valor de "a", ficamos com
y = -6x²/25 + 6
Veja que a=-6/25 e que c=6.

por jenkidama Sáb 01 Fev 2014, 18:20

Agora consegui coompreender o processo. Só uma pergunta , sempre que eu tiver uma parabola simétrica e suas raizes, posso descobrir sua euqação a partir de y=x² , como Pedro explicou tabem
a * (x - x1) * (x - x2) * (x - x3) * ... * (x - xn) ??!