Medidas de um triangulo

por mddgabriel Seg 27 Jan 2014, 21:20

Bem, a questão é a seguinte:

Calcule as medidas dos lados de um triângulo sabendo que elas são números inteiros consecutivos e que o ângulo maior é igual ao dobro do ângulo menor.

Eu tive uma ideia de como resolver, mas ela nao deu certo.. Gostaria de saber como vocês resolveriam
Obrigado Smile

por **Medeiros** Seg 27 Jan 2014, 22:34

Calcule as medidas dos lados de um triângulo sabendo que elas são números inteiros consecutivos e que o ângulo maior é igual ao dobro do ângulo menor.

Os lados são consecutivos. Seja o conjunto dos lados: {a-1, a, a+1} ∈ ℤ+.
faça um desenho e nomeie os lados
Ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Oposto ao lado a-1 fica o ângulo θ; e oposto ao lado a+1 fica o ângulo 2θ.

lei dos cossenos para o ângulo θ:
(a-1)² = a² + (a+1)² - 2a(a+1).cosθ -----> cosθ = (a+4)/(2(a+1))

lei dos senos
(a+1)/sen2θ = (a-1)/senθ -----> (a+1)/(a-1) = sen2θ/senθ = 2senθcosθ/senθ ......... senθ≠0, por construção, então

(a+1)/(a-1) = 2.cosθ ............ substituindo a valor antes encontrado,

(a+1)/(a-1) = 2.(a+4)/(2(a+1)) -----> (a+1)² = (a-1)(a+4) -----> a=5 -----> a-1=4 -----> a+1=6

portanto, o triângulo tem lados { 4, 5, 6 }

por PedroCunha Seg 27 Jan 2014, 23:09

Sejam os lados:

x-1,x,x+1

E os ângulos a,b, e c, supondo, sem perda de generalidade, c > b > a
Do enunciado: c = 2a

Da Lei dos Senos:

(x-1)/sen a = (x+1)/sen c
(x-1) * sen c = (x+1) * sen a
(x-1) * sen (2a) = (x+1) * sen a
(x-1) * sen(a+a) = (x+1) * sen a
(x-1) * [sen a*cos a + cos a*sen a] = (x+1) * sen a
(x-1) * sen a * (2cos a) = (x+1) * sen a
2cos a = (x+1)/(x-1)

Agora, da Lei dos Cossenos:

(x-1)² = (x+1)² + x² - 2 * (x+1) * x * cos a
(x-1)² = (x+1)² + x² - 2cos a * (x² + x)
x² - 2x + 1 = x² + 2x + 1 + x² - [(x+1)/(x-1)] * (x² + x)
x² + 4x - (x³ + 2x² + x)/(x-1) = 0
x³ - x² + 4x² - 4x - x³ - 2x² - x = 0
x² - 5x = 0 .:. x = 0 (não serve) ou x = 5

Logo, os lados são: (x-1), x , (x+1) .:. 4,5,6

É isso.

Att.,
Pedro

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