Raízes complexas

A equação  tem 10 raízes complexas , onde a barra denota conjugado complexo.
Calcule o valor de .

Resposta:

Vou começar:

Sejam r1 = a + bi e r'1 = a - bi um par de raízes conjugadas ---> r1.r'1 = (a + bi).(a - bi) ---> r1,r'1 = a² + b² 


mmc dos denominadores  = r1.r'1.r2.r'2.r3.r'3.r4.r'4.r5.r'5

x^10 + C(10,0).(13^10).x^10.(-1)^0 + C(10, 1).(13^9.x^9).(-1)^1 + C(10, 2).(13^8.x^8 ).(-1)² + ....... + (-1)^10 = 0

x^10 + (13^10).x^10 - 10.(13^9.x^9) + 45.(13^8.x^8 ) - 120.(13^7.x^7) + ........ + 1 = 0


(1 + 13^10).x^10 - (10.13^9).x^9 + (45.13^8 ).x^8 - (120.13^7).x^7 + .... + 45.13².x² - 10.(13x) + 1

Girard

r1.r'1.r2.r'2.r3.r'3.r4.r'4.r5.r'5 = 1/(1 + 13^10)

Tente aplicar outras Relações de Girard

Vamos desenvolver a expressão que foi pedida:

1/r1r1' + 1/r2r2' + 1/r3r3' + 1/r4r4' + 1/r5r5'

Tirando o M.M.C.:

[(r2r2'r3r3'r4r4'r5r5') + (r1r1'r3r3'r4r4'r5r5') + (r1r1'r2r2'r4r4'r5r5') + (r1r1'r2r2'r3r3'r5r5') + (r1r1'r2r2'r3r3'r4r4')]/r1r1'r2r2'r3r3'r4r4'r5r5'


Veja que o que foi pedido nada mais é que a razão entre a soma das raízes tomadas 8 a 8 e o produto de todas as raízes.

O produto de todas as raízes é dado pela razão entre o coeficiente do termo independente e o coeficiente do termo de maior grau.

Vamos encontrar o coeficiente do termo independente no desenvolvimento da expressão (13x - 1)^{10}.

Veja:

T(p+1) = Cn,p * (13x)^{n-p} * (-1)^p

Como queremos o termo independente:

n-p = 0
10 - p = 0
p = 10

T(11) = C10,10 * (13x)^0 * (-1)^10
T(11) = 1

Agora, vamos encontrar o coeficiente do termo de grau 10:

T(p+1) = Cn,p * (13x)^{n-p) * (-1)^p

n-p = 10
10 - p = 10
p = 0

T(1) = C10,0 * (13x)^{10} * (-1)^0
T(1) = 13^{10} * x^{10}

Logo, o produto de todas as raízes é dado por:

1/(13^{10} + 1)

A soma das raízes tomadas oito a oito é a razão entre o coeficiente do termo de grau 2 e do termo de grau 10.

Aplicando o Binômio de Newton novamente:

T(p+1) = Cn,p * (13x)^{n-p} * (-1)^p

n-p = 2
10 - p = 8
p = 8

T(9) = C10,8 * (13x)² * (-1)^8
T(3) = 45 * 169 * x²
T(3) = 7605x²

Logo, a soma das raízes tomadas oito a oito é:

(7605)/(13^{10} + 1)

Portanto, o valor da expressão pedida é:

[(7605)/(13^{10} + 1)]/[1/(13^{10} + 1)] = 7605

O que fiz de errado?

Abraços,
Pedro

Pedro

Note que pela minha solução o penúltimo termo vale 45.13² = 76005, coincidindo com a sua solução

Sim. Os termos estão certos, mas jogando pelo WolframAlpha e pegando as raízes dadas lá e colocando na expressão, encontra-se 850. Logo, minha solução está incorreta.

Tem alguma ideia, Élcio?

Abraços,
Pedro

Não consigo ver nenhum erro nas nossas soluções.
Vamos aguardar a colaboração de outros usuários

A solução de vcs parece ser um pouco trabalhosa. Encontrei uma alternativa por números complexos:
x^10 + (13x - 1)^10 = 0 --> x^10 + [x(13 - 1/x)]^10 = 0 --> x^10(13 - 1/x)^10 = -x^10 --> (13 - 1/x)^10 = -1

Usando a 2ª fórmula de moivre:
(13 - 1/x)^10 = cis(π) --> 13 - 1/x = cis((π + 2kπ)/10) --> 1/x = 13 - cis((π + 2kπ)/10)

Falta termina, mas creio que esse seja o caminho mais simples.

mauk03 escreveu:A solução de vcs parece ser um pouco trabalhosa. Encontrei uma alternativa por números complexos:
x^10 + (13x - 1)^10 = 0 --> x^10 + [x(13 - 1/x)]^10 = 0 --> x^10(13 - 1/x)^10 = -x^10 --> (13 - 1/x)^10 = -1

Usando a 2ª fórmula de moivre:
(13 - 1/x)^10 = cis(π) --> 13 - 1/x = cis((π + 2kπ)/10) --> 1/x = 13 - cis((π + 2kπ)/10)

Falta termina, mas creio que esse seja o caminho mais simples.

boa sacada mauk03 ! Continuando :

1/x = 13 - cis[ (pi+2kpi)/10 ] , k = 0,1,2..,9 , podemos jogar até k=4 pois a partir daí seriam os conjugados:
1/z1 = 13 - cis(pi/10) , então 1/z1* = 13 - cis(-pi/10)
1/(z1z1*) = (13 - cis(pi/10) )(13 - cis(-pi/10 ) = 169 - 13cis(-pi/10) - 13cis(pi/10) + cis(pi/10)cis(-pi/10)
1/(z1z1*) = 169 - 13[ cis(pi/10) + cis(-pi/10) ] + 1
1/(z1z1*) = 170 - 26cos(pi/10) , analogamente:
1/(z2z2* ) = 170 - 26cos(3pi/10)
1/(z3z3*) = 170 - 26cos(5pi/10)
1/(z4z4*) = 170 -26cos(7pi/10)
1/(z5z5*) =170 - 26cos(9pi/10)
então a soma pedida é:
S = 5.170 - 26(cos(pi/10) + cos(3pi/10) + cos(5pi/10) + cos(7pi/10) + cos(9pi/10) )
S = 850 - 26S'
calculando S':
note que temos uma soma de senos de arcos em PA de razão 2pi/10, multiplicando S' por 2sen(pi/10) :
2S' = 2sen(pi/10)cos(pi/10) + sen(pi/10)cos(3pi/10) + sen(pi/10)cos(5pi/10) +sen(pi/10)cos(7pi/10) + sen(pi/10)cos(9pi/10)
2senacosb = sen(a+b) + sen(a-b) :

2S' = sen(2pi/10) - sen0 + sen(4pi/10) - sen(2pi/10) +sen(6pi/10) - sen(4pi/10) + sen(8pi/10) -sen(6pi/10) +sen(pi) - sen(8pi/10)
temos uma soma telescópica:
2S' = senpi - sen0
S' = 0

Logo, S = 850.
questão boa..

Isso mesmo Luck, vlw ai. Essa certamente é uma questão interessante.

Vi o problema na minha solução, Élcio. Veja que o numerador não representa a soma dos produtos das raízes 8 a 8. Se fosse o caso, deveríamos ter C10,8 = 45 pares de somas e não 5.

Abraços,
Pedro