achar equacao lugar geométrico

por cleicimara 19/12/2013, 2:24 am

(ita sp) sejam as retas r e s dadas respectivamente pelas equações 3x-4y+12=0 e 3x-4y+4=0. Considere (l) o lugar geométrico dos centros das circunferências que tangenciam simultaneamente r e s . uma equação que descreve (l) é dada por:

resp 3x-4y+8=0

por PedroCunha 19/12/2013, 12:28 pm

Fazendo um desenho, você vê que o centro de todas as circunferências que satisfazem as condições do enunciado, estão na metade da distância das duas retas.

Pegando um ponto qualquer da reta s e calculando a distância dele a reta r:

Para x = 4,y = 4. Substituindo:

d = |4*3 - 4*4 +12|/√(3²+(-4)²)
d = |8|/5
d = 8/5

d/2 = 4/5

Agora, encontrando um lugar geométrico possível:

distância do centro da circunferência a r = d/2:

|3xc - 4yc + 12|/√(3² + (-4)²) = 4/5
|3xc - 4yc + 12| = 4

Dois casos possíveis:

3xc - 4yc + 12 = 4 --> 3xc - 4yc + 8 = 0 --> 3x - 4y + 8 = 0

ou

3xc - 4yc + 12 = -4 --> 3xc - 4yc + 16 = 0 --> 3x - 4y + 16 = 0

Att.,
Pedro

por **Elcioschin** 19/12/2013, 1:17 pm

Outra solução (mais rápida)

As duas retas são paralelas entre si (m = 3/4) e cruzam o eixo y em A(0, 3) e B(0, 1)

Uma das circunferência tem centro no ponto médio de AB ----> M(0,2)

Reta com m = 3/4 e passando por M(0, 2) --> y - 2 = (3/4).(x - 0) --> 3x - 4y + 8 = 0

por cleicimara 20/12/2013, 2:38 am

Entendido!!! Obrigada!

por REBECCA FREITAS 23/4/2016, 12:02 am

Boa Noite, Elcioschin! Como descubro o centro da circunferência neste caso?

por **Elcioschin** 23/4/2016, 4:46 pm

O enunciado NÃO pediu o centro de uma circunferência específica: ele pediu o lugar geométrico dos centros de TODAS as possíveis circunferências.

O lugar geométrico é a reta 3x - 4y + 8 = 0: qualquer ponto desta reta poderá ser o centro de uma circunferência.

Assim, é impossível calcular o centro da circunferência, pois existem infinitas circunferências.

O que se poderia calcular é o diâmetro da circunferência: é a distância entre as duas retas.

por **qedpetrich** 1/2/2022, 9:51 pm

Apesar de que o tópico já se encontra resolvido, uma outra ideia é tomar que a distância do centro de par ordenados C = (x , y) às retas (r) e (s) devem resultar no raio (R) das circunferências, dessa forma:

$achar equacao lugar geométrico Png$

Chegamos no lugar geométrico.