Como se resolve?
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Como se resolve?
Na figura, o diâmetro AB mede 8 raiz quadrada de 3e a corda CD forma um ângulo de 30º com AB. Se E é ponto médio de AO, onde O é o centro do círculo, a área da região hachurada, mede:
Hades- Iniciante
- Mensagens : 18
Data de inscrição : 09/04/2010
Idade : 34
Localização : Recife
Re: Como se resolve?
AÊC = BÊD = 30º
Propriedade do ângulo de Vértice Interno:
arco AC + arco BD = 2*30º -----> Arco (AC + BD) = 60º
A área pedida é a área de um setor circular de 60º de um círculo de raio 4*V3
S = pi*r²/6 ----> S = pi*(4*V3)²/6 ----> S = 8*pi u.a.
Propriedade do ângulo de Vértice Interno:
arco AC + arco BD = 2*30º -----> Arco (AC + BD) = 60º
A área pedida é a área de um setor circular de 60º de um círculo de raio 4*V3
S = pi*r²/6 ----> S = pi*(4*V3)²/6 ----> S = 8*pi u.a.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71673
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Como se resolve?
Vc fez como se o ponto E fosse o centro do círculo e não é! é apenas o ponto médio do raio OA. A resposta da questão é 8.Pi-3 raiz quadrada de 3. Esse problema parece ingênuo, mas não é!
Hades- Iniciante
- Mensagens : 18
Data de inscrição : 09/04/2010
Idade : 34
Localização : Recife
Re: Como se resolve?
Hades
Eu NÂO considerei E como centro do círculo na minha demonstração.
Esta propriedade do Ângulo de Vértice Interno vale para quaisquer duas cordas que se interceptam no interior de uma circunferência (uma das corda pode ser um diâmetro).
Vou provar:
Vou chamar de a o arco AC e de b o arco BD.
No triângulo EAD:
^DAE = b/2 ----> Propriedade do Ângulo Inscrito
^ADE = a/2 ----> idem
AÊC é externo ao triângulo EAD -----> AÊC = a/2 + b/2 ----> AÊC = (a + b)/2
AÊC é o ângulo entre as duas cordas do enunciado ----> AÊC = 30°
30° = (a + b)/2 ----> a + b = 60º
Logo, os dois arcos a, b equivalem a um arco de 60º
Como consequência, a área hachurada é a área de um setor circular de 60º de um círculo de raio 4*V3:
S = pi*r²*(60º/360º) ----> S = pi*r²/6 ----> S = pi*(4*V3)²/6 ----> S = 8*pi
Sugiro que você:
a) Dê uma lida na teoria sobre Ângulo Inscrito e Ângulo de Vértice Interno.
b) Acompanhe a minha solução, para verificar se minhas afirmações correspondem aos teoremas citados.
c) Verique meus cálculos e aponte algum eventual erro.
Lembre-se também, que muitos gabaritos de livros ou apostilas estão errados e pode ser este o caso do seu problema.
Eu NÂO considerei E como centro do círculo na minha demonstração.
Esta propriedade do Ângulo de Vértice Interno vale para quaisquer duas cordas que se interceptam no interior de uma circunferência (uma das corda pode ser um diâmetro).
Vou provar:
Vou chamar de a o arco AC e de b o arco BD.
No triângulo EAD:
^DAE = b/2 ----> Propriedade do Ângulo Inscrito
^ADE = a/2 ----> idem
AÊC é externo ao triângulo EAD -----> AÊC = a/2 + b/2 ----> AÊC = (a + b)/2
AÊC é o ângulo entre as duas cordas do enunciado ----> AÊC = 30°
30° = (a + b)/2 ----> a + b = 60º
Logo, os dois arcos a, b equivalem a um arco de 60º
Como consequência, a área hachurada é a área de um setor circular de 60º de um círculo de raio 4*V3:
S = pi*r²*(60º/360º) ----> S = pi*r²/6 ----> S = pi*(4*V3)²/6 ----> S = 8*pi
Sugiro que você:
a) Dê uma lida na teoria sobre Ângulo Inscrito e Ângulo de Vértice Interno.
b) Acompanhe a minha solução, para verificar se minhas afirmações correspondem aos teoremas citados.
c) Verique meus cálculos e aponte algum eventual erro.
Lembre-se também, que muitos gabaritos de livros ou apostilas estão errados e pode ser este o caso do seu problema.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71673
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Como se resolve?
Cara, eu já vi essa resolução aqui e a resposta era 8 Pi- 3Raiz quadrada de 3, esse problema tem pegadinha. Pedi ajuda ao Euclides também! Assim que achar te falo.
Hades- Iniciante
- Mensagens : 18
Data de inscrição : 09/04/2010
Idade : 34
Localização : Recife
Re: Como se resolve?
Observem a figura abaixo:
considerem inicialmente CD passando pelo centro do círculo marcando dois setores circulares de 30 graus cada um (em amarelo claro). Ao deslocar-se CD para a sua posição real, vamos retirando área na parte de baixo e acrescentando na parte de cima. A diferença entre acréscimo e decréscimo é duas vezes o triângulo retângulo em vermelho. A área procurada é duas vezes a áres de um setor circular de 30 graus mais o dobro da área do triângulo.
considerem inicialmente CD passando pelo centro do círculo marcando dois setores circulares de 30 graus cada um (em amarelo claro). Ao deslocar-se CD para a sua posição real, vamos retirando área na parte de baixo e acrescentando na parte de cima. A diferença entre acréscimo e decréscimo é duas vezes o triângulo retângulo em vermelho. A área procurada é duas vezes a áres de um setor circular de 30 graus mais o dobro da área do triângulo.
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In memoriam - Euclides faleceu na madrugada do dia 3 de Abril de 2018.
Lembre-se de que os vestibulares têm provas de Português também! Habitue-se a escrever corretamente em qualquer circunstância!
O Universo das coisas que eu não sei é incomensuravelmente maior do que o pacotinho de coisas que eu penso que sei.
Euclides- Fundador
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Idade : 74
Localização : São Paulo - SP
Re: Como se resolve?
O colega brasileiro312 passará por aqui. Motivo: https://pir2.forumeiros.com/t157069-colegio-naval-1984-1985
Tem uma edição melhor da questão postada em 2017 e também resolvida por Medeiros.
https://pir2.forumeiros.com/t135881-a-area-da-regiao-hachurada
Tem uma edição melhor da questão postada em 2017 e também resolvida por Medeiros.
https://pir2.forumeiros.com/t135881-a-area-da-regiao-hachurada
Convidado- Convidado
Re: Como se resolve?
é por isso que considero o Qwertus o vigia do fórum com olhos de lince -- ele não deixa passar uma. Acho ótimo pra organização.
e graças a ele percebo que minha resposta em 2017 é praticamente igual à do Euclides em 2010, a qual ainda não tinha visto
e graças a ele percebo que minha resposta em 2017 é praticamente igual à do Euclides em 2010, a qual ainda não tinha visto
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10396
Data de inscrição : 01/09/2009
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