Número de divisores

por georges123 Qua 20 Nov 2013, 12:26

Determine o menor número natural que possui 12 divisores positivos.

por **ivomilton** Qua 20 Nov 2013, 13:05

georges123 escreveu:Determine o menor número natural que possui 12 divisores positivos.

Boa tarde, Georges.

2^x * 3^y * 5^z

(x+1)(y+1)(z+1) = 12

Divisores de 12:
1, 2, 3, 4, 6, 12.

Desprezando o 1, pois deveremos ter x,y,z ≠ 0, restarão:
2, 3, 4, 6, 12

Trios de fatores que reproduzirão o 12:
Isso somente será possível se decompormos o divisor 4 em 2.2:
2, 3, 2.2, 6, 12

Agora poderemos encontrar:
2.2.3

Donde deduziremos que os expoentes deverão ser:
2-1, 2-1, 3-1

Ou seja:
1, 1 e 2

Como o expoente maior deverá ir para o divisor de menor valor, fica:
2².3¹.5¹ = 4.3.5 = 60

Um abraço.

por georges123 Qua 20 Nov 2013, 13:20

Boa tarde Ivomilton. Quando fui resolver esta questão eu cheguei ao mesmo resultado, mas no gabarito esta 60. Como irei chegar a este número?

por **ivomilton** Qua 20 Nov 2013, 14:32

georges123 escreveu:Boa tarde Ivomilton. Quando fui resolver esta questão eu cheguei ao mesmo resultado, mas no gabarito esta 60. Como irei chegar a este número?

Boa tarde, Georges,

Editei e refiz a resolução.
Eu cria que bastariam apenas 2 fatores primos, mas na verdade terão que ser 3.
Como o amigo poderá notar, eu decompus o 4 em 2.2; também poderia ter decomposto o 6 em 2.3, mas isso faria com que tivéssemos fatores mais elevados em valor.

Um abraço.

por georges123 Qua 20 Nov 2013, 15:04

Necessariamente a questão teria de deixar explícito se quer trio de fatores primos ou outra coisa ?

por **ivomilton** Qua 20 Nov 2013, 15:33

georges123 escreveu:Necessariamente a questão teria de deixar explícito se quer trio de fatores primos ou outra coisa ?

Oi, George, boa tarde.

Não teria não. Isso fica a cargo de quem for resolver a questão: poderia ocorrer de serem três, dois, bem como apenas um fator primo.

Eu imaginei que seriam dois; mas me enganei. Com três fatores primos obtém-se um número menor do que com apenas dois fatores primos.

Um abraço.