Números complexos .

por spawnftw Dom 03 Nov 2013, 15:31

sabendo que z ∈ ¢ , e 2z³ + 3z² = a + bi, a e b reais, mostre que $2\left ( \bar{z} \right )^3\;+3\left ( \bar{z} \right )^2\;=\;a\;-bi$

por PedroCunha Dom 03 Nov 2013, 17:18

Veja:

Desenvolvendo a segunda conta, temos:

$\\2 \cdot (\overline Z)^3 + 3 \cdot (\overline Z)^2 = 2 \cdot (a - bi)^3 + 3 \cdot (a- bi)^2 \therefore \\\\ 2 \cdot (a^3-3 i a^2 b-3 a b^2+i b^3) + 3 \cdot (a^2 - 2abi + b^2i^2) \therefore \\\\ 2 \cdot (a^3 - 3ab^2 + ib^3 - 3ia^2b) + 3 \cdot (a^2 - b^2 - 2abi) \therefore \\\\ 2 \cdot [(a^3 - 3ab^2) + i \cdot (b^3 - 3a^2b)] + 3 \cdot (a^2 - b^2 - 2abi) \therefore \\\\ 2a^3 - 6ab^2 + 2i \cdot (b^3 - 3a^2b) + 3a^2 - 3b^2 - 6abi \therefore \\\\ 2a^3 + 3a^2 - 3b^2 - 6ab^2 + i \cdot [(2b^3 - 6a^2b) - 6ab]$

Desenvolvendo a primeira, temos:

$\\2 \cdot (Z)^3 + 3 \cdot (Z)^2 = 2 \cdot (a + bi)^3 + 3 \cdot (a + bi)^2 \therefore \\\\ 2 \cdot (a^3+3 i a^2 b-3 a b^2-i b^3) + 3 \cdot (a^2 + 2abi + b^2i^2) \therefore \\\\2 \cdot(a^3 - 3ab^2 + 3ia^2b - ib^3) + 3 \cdot (a^2 -b^2 + 2abi) \therefore \\\\2a^3 - 6ab^2 + 6ia^2b - 2ib^3 + 3a^2 - 3b^2 + 6abi \therefore \\\\ 2a^3 + 3a^2 - 3b^2 - 6ab^2 + i \cdot ([- 2b^3 + 6a^2b] + 6ab)$

Agora, comparando as partes imaginárias, vemos que a parte imaginária da segunda conta é igual a parte imaginária da segunda multiplicada por -1. Logo, provamos que se:

2z³ + 3z² = a + bi

$2 \cdot (\overline Z)^3 + 3 \cdot (\overline Z)^2$

Vai ser igual a

a - bi

É isso.

Qualquer dúvida basta perguntar!

Att.,
Pedro

por spawnftw Dom 03 Nov 2013, 18:48

Obrigado Pedro.

Há uma solução menos braçal que esta, se eu conseguir eu posto

por PedroCunha Dom 03 Nov 2013, 19:09

Com certeza há.

Acho que por termos feito apenas a mudança de z por seu conjugado, já poderíamos afirmar que apenas a parte imaginária iria mudar. Mas não tenho certeza.

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