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por 150nandu150 Ter 13 Ago 2013, 18:13
Relembrando a primeira mensagem :
No triangulo retângulo representado a seguir, existem três círculos tangentes entre si e aos lados do triangulo.Determine, em metros, o raio do menor circulo, sabendo-se que o raio do maior é 5 m e o maior cateto do triangulo vale 17m.
Tentei com varias semelhanças de triangulo e não consigo chegar nem no raio da circunferência central, menos ainda no da menor.
No triangulo retângulo representado a seguir, existem três círculos tangentes entre si e aos lados do triangulo.Determine, em metros, o raio do menor circulo, sabendo-se que o raio do maior é 5 m e o maior cateto do triangulo vale 17m.
Tentei com varias semelhanças de triangulo e não consigo chegar nem no raio da circunferência central, menos ainda no da menor.
150nandu150- Jedi
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Re: UTFPR
por may-amorimwinxplena Qui 11 Jun 2020, 23:12
A minha ficou assim:
a^2 = 17^2 + (a-7)^2
a^2= 289 + a^2 - 14a + 49
14 a = 338
a= 338/14 :2 = 169/7
c= 169/7 - 7
c= 120/7
onde errei ?
a^2 = 17^2 + (a-7)^2
a^2= 289 + a^2 - 14a + 49
14 a = 338
a= 338/14 :2 = 169/7
c= 169/7 - 7
c= 120/7
onde errei ?
may-amorimwinxplena- Padawan
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Re: UTFPR
por Medeiros Sex 12 Jun 2020, 00:17
mil desculpas. Quem errou em conta fui eu (que subtraí em vez de somar 289+49) e vc está certa.
a = 169/7 -----> c = 120/7
e aí, conseguiu achar R e r?
a = 169/7 -----> c = 120/7
e aí, conseguiu achar R e r?
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Re: UTFPR
por may-amorimwinxplena Sex 12 Jun 2020, 02:08
Fiz a semelhança de triângulos:
R - r / 5 - R = R + r / 5 + R
5R - 5r + R^2 - Rr = 5R + 5r - R^2 - Rr
10r = 2R^2
R= raíz de 5r
Como finalizo ? Eu tentei fazer semelhança entre um dos triângulos pequenos e o grande mas não deu muito certo ....
R - r / 5 - R = R + r / 5 + R
5R - 5r + R^2 - Rr = 5R + 5r - R^2 - Rr
10r = 2R^2
R= raíz de 5r
Como finalizo ? Eu tentei fazer semelhança entre um dos triângulos pequenos e o grande mas não deu muito certo ....
may-amorimwinxplena- Padawan
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Re: UTFPR
por Medeiros Sex 12 Jun 2020, 12:26
May, é o seguinte...
dos triângulos pequenos (veja meu desenho) que ligam os centros das circunstâncias, só conhecemos um cateto e a hipotenusa. Acontece que o segmento CO que contém as hipotenusas é bissetriz do ângulo B^CA do triângulo grande, logo não há semelhança entre os triângulos com R e r e o triâng ABC.
Porém existe semelhança entre aqueles triângulos pequenos e o triângulo OMC. Neste conhecemos os catetos OM=5 e CM=12; por Pitágoras achamos CO=13. E agora podemos fazer a semelhança:
(5 - r)/(5 + r)= OM/CO = 5/13
ou
(R - r)/(R + r) = OM/CO = 5/13
dos triângulos pequenos (veja meu desenho) que ligam os centros das circunstâncias, só conhecemos um cateto e a hipotenusa. Acontece que o segmento CO que contém as hipotenusas é bissetriz do ângulo B^CA do triângulo grande, logo não há semelhança entre os triângulos com R e r e o triâng ABC.
Porém existe semelhança entre aqueles triângulos pequenos e o triângulo OMC. Neste conhecemos os catetos OM=5 e CM=12; por Pitágoras achamos CO=13. E agora podemos fazer a semelhança:
(5 - r)/(5 + r)= OM/CO = 5/13
ou
(R - r)/(R + r) = OM/CO = 5/13
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Re: UTFPR
por may-amorimwinxplena Ter 16 Jun 2020, 18:21
Boa noite, Medeiros! Primeiramente, desculpe pela demora (tive uns problemas na internet)... Fiz seguindo os passos que você disse e deu certo!!! Mas não entendi com clareza porque não pode fazer a semelhança com o triângulo grande (ABC) , pode me explicar ?
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Re: UTFPR
por Medeiros Ter 16 Jun 2020, 20:00
simplesmente porque NÃO são triângulos semelhantes. Observe que ambos têm apenas o ângulo reto em comum. Os outros dois ângulos são diferentes -- o agudo dos menores é a metade do agudo de ABC (bissetriz, lembra?).
vc agora deve estar percebendo que achar os valores de "a" e "c" não serve para nada nesta questão, né?
vc agora deve estar percebendo que achar os valores de "a" e "c" não serve para nada nesta questão, né?
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Re: UTFPR
por may-amorimwinxplena Ter 16 Jun 2020, 20:16
Entendi !!! Eu deixei passar a questão dos critérios para a semelhança .... Realmente, nem precisava do a e do c , o que deixa a questão bem menos trabalhosa e mais simples! Obrigada pela ajuda e paciência em explicar!
may-amorimwinxplena- Padawan
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