UTFPR

por 150nandu150 Ter 13 Ago 2013, 18:13

No triangulo retângulo representado a seguir, existem três círculos tangentes entre si e aos lados do triangulo.Determine, em metros, o raio do menor circulo, sabendo-se que o raio do maior é 5 m e o maior cateto do triangulo vale 17m.

UTFPR Jm07

Tentei com varias semelhanças de triangulo e não consigo chegar nem no raio da circunferência central, menos ainda no da menor.

por **Elcioschin** Ter 13 Ago 2013, 19:08

Seja ABC o triângulo com AC = b = 17 ----> c = AB , a = BC são o cateto e a hipotenusa

Sejam M, N, P os pontos de tangência da circunferência maior com AC, AB e BC, respectivamente

Sejam R e r os raios das outras circunferências com R > r

AM = 5 ----> MC = 17 - 5 ---> MC = 12 ----> CP = 12
AN = 5 ----> NB = c - 5 ----> BP = c - 5

BP + CO = BC ----> 12 + (c - 5) = a ----> c = a - 7

a² = b² + c² ---> a² = 17² + (a - 7)² ---> Calcule a e depois calcule c

Semelhanças:

(5 - R)/(5 + R) = (R - r)/(R + r) = c/a ----> Calcule R, r

por 150nandu150 Ter 13 Ago 2013, 20:31

Mestre, como provo que (NB = c - 5 ----> BP = c - 5) NB=BP ?

por **Elcioschin** Ter 13 Ago 2013, 22:01

É um teorema simples e manjado>

Os segmentos de retas (BN e BP) tangentes à uma circunferência, tiradas de um mesmo ponto B externo à mesma tem o mesmo comprimento