Questão do ITA - Circunferência

por Lucas Lopess Ter 23 Jul 2013, 08:50

(ITA) A equação da circunferência tangente ao eixo das abscissas na origem e que passa pelo ponto (a, b), onde a² + b² = 2b e b≠0 é?

Resposta: x² + ( y - 1 )² = 1

por **Jose Carlos** Qua 24 Jul 2013, 12:42

- circunferência tangente ao eixo das abscissas na origem-> passa pelo ponto O( 0,0 )

- passa pelo ponto A( a, b )

a² + b² = 2b

Assim:

- reta pelos pontos O( 0, 0 ) e A( a, b ):

( y-0)/(b-0) = (x-0)/(a-0)

y = ( a/b )x

-ponto médio do segmento OA:

xM = a/2

yM = b/2

M( a/2, b/2 )

- reta perpendicular à reta y ( a/b )x passando pelo ponto M:

m = - a/b

( y - (b/2 ) = ( - a/2 )*(x - (a/2) )

(2y - b )/2 = ( - ax )/b + (a²/2b )

2by + 2ax = 2b

by + ax = b (I)

- o centro da circunferência será dado pela interseção de (I) com p eixo dos Y:

fazendo-se x = 0 em (I) temos:

y = 1

Então a equação da circunferência será C( 0, 1 )-> ( x - 0 )² + ( y - 1 )² = 1

x² + ( y - 1 )² = 1

por Lucas Lopess Qua 24 Jul 2013, 14:39

Jose Carlos escreveu:Assim:

- reta pelos pontos O( 0, 0 ) e A( a, b ):

( y-0)/(b-0) = (x-0)/(a-0)

y = ( a/b )x

Jose, não entendi essa parte, poderia me explicar melhor por favor?

por **Jose Carlos** Qua 24 Jul 2013, 14:57

Equação da reta que passa por dois pontos: O( x1,y1 ) e A( x2, y2 ):

y - y1..........x - x1
-------- = ------------
y2 - y1........x2 - x1

nossos pontos são: O( 0, 0 ) e A( a, b ), então:

x1 = 0 ; x2 = a ; y1 = 0 ; y2 = b

por Lucas Lopess Qui 25 Jul 2013, 23:03

Muito obrigado! Very Happy

por **Elcioschin** Sex 26 Jul 2013, 13:55

Outra solução

Centro C(0, R)

(x - 0)² + (y - R)² = R² ---> x² + y² - 2R.y = 0

Passa pelo ponto (a, b) ----> a² + b² - 2R.b = 0 --> 2b - 2R.b = 0 ---> 2 - 2R = 0 ---> R = 1

x² + (y - 1)² = 1