Produtos notáveis

por 2k3d Dom 30 Jun 2013, 00:08

o valor do produto abaixo $(\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+1)*(\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{17-3\sqrt{33}}-1)$ é igual a ?

a) 7
b) 9
c) 17
d) 29
e) 31

Spoiler:

por **fantecele** Dom 23 Dez 2018, 03:40

Primeiro perceba que:
(a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)

No exercício:

$\\\left (\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}} \right )^3=38+3.4.\left (\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}} \right )\\\left (\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+1-1 \right )^3=38+3.4.\left (\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}+1-1 \right )\\(P-1)^3=38+12(P-1)\\P^3-3P^2+3P-1=38+12P-12\\P^3-3P^2-9P-27=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)$

$\\\left (\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{17-3\sqrt{33}} \right )^3=34+3.(-2).\left ( \sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{17-3\sqrt{33}} \right )\\\left (\sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{17-3\sqrt{33}}-1+1 \right )^3=34+3.(-2).\left ( \sqrt[3]{17+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{17-3\sqrt{33}}-1+1 \right )\\(Q+1)^3=34-6(Q+1)\\Q^3+3Q^2+3Q+1=34-6Q-6\\Q^3+3Q^2+9Q-27=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II)$

Perceba que P satisfazendo (I), então ela é raiz de x³ - 3x² - 9x - 27 = 0 (III), perceba também que Q satisfazendo (II), então Q é raiz de x³ + 3x² + 9x - 27 = 0 (IV), agora perceba que:

$\\x^3+3x^2+9x-27\\\\\left (\frac{9}{P} \right )^3+3\left (\frac{9}{P} \right )^2+9\left ( \frac{9}{P} \right )-27\\\\\frac{9^3+3.9^2P+9.9.P^2-27P^3}{P^3}\\\\\frac{27.(27+9P+3P^2-P^3)}{P^3}\\\frac{-27.(P^3-3P^2-9P-27)}{P^3}=0$

Daqui tiramos que 9/P é uma raiz de (IV), (IV) possui apenas uma raiz real, sendo ela igual a Q, então devemos ter Q = 9/P, portanto o produto pedido que é igual a P.Q será igual a P.(9/P) = 9.

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