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O menor inteiro positivo n para o qual o número N é
um quadrado perfeito, tal que
N=100000.100002.100006.100008 + n é ?

a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38

Sem gabarito

yelrlx escreveu:O menor inteiro positivo n para o qual o número N é
um quadrado perfeito, tal que
N=100000.100002.100006.100008 n é ?

a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38

Sem gabarito

Boa tarde.

Fazendo 100000 = x, vem:

N = x . (x+2) . (x+6) . (x+ 8 ) = x⁴ + 16x³ + 76x² + 96x + AB.

Assim, o produto terá o formato 1_ _ _ 16 _ _ _ 76 _ _ _ 96 _ _ _ AB.

A dezena final (AB) deverá ser um quadrado perfeito, pois o produto mais AB deverá ser quadrado perfeito, cuja raiz, deverá ter formato igual a:
1 _ _ _ _ Y _ _ _ _ Z, cujo quadrado 1_ _ _2Y_ _ _2Z+Y²_ _ _2YZ_ _ _Z².

Portanto, a dezena final Z² só poderá ser 36, pois nenhuma das demais alternativas é um quadrado perfeito.

Alternativa (d)

Z = 6
2Z+Y² = 76 → 2*6+Y² = 76 → Y² = 76-12 = 64 → Y = √64 = 8
2Y = 2*8 = 16
2Z+Y² = 2*6 + 8² = 12 + 64 = 76
2YZ = 2*8*6 = 96
Z² = 36

E o referido quadrado é: 100016000760009600036, cuja raiz quadrada é 10000800006.








Um abraço.

ivomilton escreveu:

A dezena final (AB) deverá ser um quadrado perfeito, pois o produto mais AB deverá ser quadrado perfeito, cuja raiz, deverá ter formato igual a:
1 _ _ _ _ Y _ _ _ _ Z, cujo quadrado 1_ _ _2Y_ _ _2Z+Y²_ _ _2YZ_ _ _Z².


Z = 6
2Z+Y² = 76 → 2*6+Y² = 76 → Y² = 76-12 = 64 → Y = √64 = 8
2Y = 2*8 = 16
2Z+Y² = 2*6 + 8² = 12 + 64 = 76
2YZ = 2*8*6 = 96
Z² = 36

Eu não entendi de onde vem essa lei de formação que "1_ _ _2Y_ _ _2Z+Y²_ _ _2YZ_ _ _Z²". Poderia me explicar de onde ela vem ?

Também fiquei curioso pelo método, mestre Ivomilton

Fiz assim:

100000 . 100002 . 100006 . 100008 + n =
(100004 - 4)(100004 - 2)(100004 + 2)(100004 + 4) + n =
(100004² - 4²)(100004² - 2²) + n =
(100004² - 16)(100004² - 4) + n =
[(100004² - 10) – 6][(100004² - 10) + 6] + n =
(100004² - 10)² - 36 + n

-36 + n = 0
n = 36

yelrlx escreveu:

ivomilton escreveu:

A dezena final (AB) deverá ser um quadrado perfeito, pois o produto mais AB deverá ser quadrado perfeito, cuja raiz, deverá ter formato igual a:
1 _ _ _ _ Y _ _ _ _ Z, cujo quadrado 1_ _ _2Y_ _ _2Z+Y²_ _ _2YZ_ _ _Z².


Z = 6
2Z+Y² = 76 → 2*6+Y² = 76 → Y² = 76-12 = 64 → Y = √64 = 8
2Y = 2*8 = 16
2Z+Y² = 2*6 + 8² = 12 + 64 = 76
2YZ = 2*8*6 = 96
Z² = 36

Eu não entendi de onde vem essa lei de formação que "1_ _ _2Y_ _ _2Z+Y²_ _ _2YZ_ _ _Z²". Poderia me explicar de onde ela vem ?

Boa noite para todos!

1_ _ _ _ Y _ _ _ _ Z
1_ _ _ _ Y _ _ _ _ Z
----------------------------------------------

Da direita para a esquerda:
1) Multiplica-se verticalmente: Z*Z
2) Multiplica-se cruzado: Y*Z + Y*Z = 2YZ
3) Multiplica-se cruzado (1*Z + 1*Z) e soma-se ao produto vertical de Y*Y = 2Z+Y²
4) Multiplica-se cruzado (1*Y + 1*Y) = 2Y
5) Multiplica-se verticalmente: 1*1 = 1

Outro exemplo de multiplicação cruzada:
ooooooooooooooooooooooooooooo A_B_C
ooooooooooooooooooooooooooooo D_E_F
----------------------------------------------
AD _ AE+DB _ AF+DC+BE _ BF+EC _ CF

Usando números:
2 3 4
5 7 8
------
2 (32; escreve o 2 e vão 3)

2 3 4
5 7 8
------
5 2 (3+24+28=55; escreve o 5, e vão 5)

2 3 4
5 7 8
------
2 5 2 (5+16+20+21=62; escreve o 2 e vão 6)

oopoo2 3 4
ooooo5 7 8
-------------
ooo 5 2 5 2 (6+14+15=35; escreve o 5 e vão 3)

ooooo2 3 4
ooooo5 7 8
-------------
1 3 5 2 5 2

Ou seja: 234 * 578 =135.252

Aprendi num livro antigo (editado em 1931): Cálculo Rápido de Val. Valente...





Um abração para vocês!

Muito boa a resolução. Mas queria saber se da forma que eu pensei está correta:

100000= 10^5
100002=10^5 +2
100006=10^5  +6 
100008=10^5  +8

N=(10^5)(10^5 +2)10^5 +6)(10^5 + +n
N=10^5(1+2+6++n
N=10^5 .17 +n

Para que seja um quadrado perfeito, a forma fatorada deve ter apenas expoentes pares.
10^4 +170
A partir daí não sei como somar um algarismo para que tenha apenas expoentes pares. E mesmo que eu some 36(que é a resposta correta) o valor de N não é igual a outra resolução. O que eu errei?

Agradeço desde já.

Rayza1996 escreveu:Muito boa a resolução. Mas queria saber se da forma que eu pensei está correta:

100000= 10^5
100002=10^5 +2
100006=10^5  +6 
100008=10^5  +8

N=(10^5)(10^5 +2)10^5 +6)(10^5 + +n
N=10^5(1+2+6++n
N=10^5 .17 +n

Para que seja um quadrado perfeito, a forma fatorada deve ter apenas expoentes pares.
10^4 +170
A partir daí não sei como somar um algarismo para que tenha apenas expoentes pares. E mesmo que eu some 36(que é a resposta correta) o valor de N não é igual a outra resolução. O que eu errei?

Agradeço desde já.

Boa tarde, 

N=(10^5)(10^5 +2)10^5 +6)(10^5 +8 ) +n ..... Linha 1
N=10^5(1+2+6+8 )+n ..................................... Linha 2
N=10^5 .17 +n ............................................... Linha 3


Para se fatorar a Linha 1, considerando-se 10^5 como fator comum (o que não acontece na realidade), faríamos:
N = 10^5 * [10^5/10^5 + (10^5 + 2)/10^5 + (10^5 + 6)/10^5 + (10^5 + 8 )/10^5] + n 
N = 10^5 * [1 + ? + ? + ?] + n


Portanto, trata-se de uma fatoração impossível.




Um abraço.

Entendi. Obrigada! Abraço!