Produtos Notáveis

Prove que:

a³ + b³ + c³ -3abc = (a + b + c).(a² + b² + c² -ab - bc - ac)

a³+b³+c³ = (a³+b³) + c³
a³+b³+c³ = (a+b)³ +c³ - 3ab(a+b)
a³+b³+c³ = (a+b+c)[(a+b)² -(a+b)c + c²] -3ab(a+b)
a³+b³+c³ = (a+b+c)[a²+2ab+b² -ac - bc + c²] - 3ab(a+b)
a³+b³+c³ = (a+b+c)[a²+b²+c² -ac - bc +2ab] -3ab(a+b)
a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c² -ab -bc - ac) +3ab(a+b+c) -3ab(a+b)
a³+b³ + c³ = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)  +3ab(a+b+c -a-b)
a³+b³+c³ -3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² -ab-bc-ac)

Outra solução (por polinômios simétricos) :
Sn = a1S[n-1] - a2S[n-2] + a3S[n-3]
S3 - 3a3 = ?
S3 = a1S2 -a2S1 + a3S0
S3 = a1S2 -a2a1 + 3a3
S3 -3a3 = a1(S2-a2)
Logo, a³+b³+c³ -3abc =(a+b+c)(a²+b²+c² -ab-bc-ac).

Ainda outra solução no link abaixo:
https://pir2.forumeiros.com/t32409-demonstracao-de-uma-fatoracao-importante

Na segunda linha, como você achou o ''- 3ab(a+b) '' ?

matheusenra escreveu:Na segunda linha, como você achou o ''- 3ab(a+b) '' ?

(a+b)³ = a³ + 3a²b+ 3ab²+ b³
(a+b)³ = a³ + b³ +3ab(a+b)
a³+b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)

Agradeço a sua ajuda nos dois últimos tópicos, valeu.