Demonstração de uma fatoração importante.

por **Robson Jr.** Sáb 18 Ago 2012, 15:49

Muitos aqui certamente já se depararam com a seguinte identidade:

$\small a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

Há alguns modos de se deduzir essa fatoração, dentre eles um que envolve matrizes e será abordado a seguir.

Demonstração:

Considere o determinante:

$\small a^3+b^3+c^3-3abc=\begin{vmatrix} a & c & b\\ b & a & c \\ c & b & a \end{vmatrix}$

Pelo teorema de Jacobi, podemos escrever a coluna 1 como a soma das três colunas:

$\small \begin{vmatrix} a & c & b\\ b & a & c \\ c & b & a \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a+b+c &c &b \\ a+b+c &a &c \\ a+b+c & b &a \end{vmatrix}=(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & c &b \\ 1 & a &c \\ 1 & b & a \end{vmatrix}$

Desenvolvendo o determinante da direita:

$\small (a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & c &b \\ 1 & a &c \\ 1 & b & a \end{vmatrix}=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$

Então, de fato:

$\small {\color{Red} a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}$

CqD

por Andrew Wiles Seg 21 Abr 2014, 09:40

obrigado, não conhecia esse tipo.

por Ragnar Lothbrok Sex 03 Out 2014, 12:23

Muito obrigado. Estava com uma questão dessa na mão e com a resolução so que ele não fazia menção ao Teorema de Jacobi. Ficou muito mais compreensível.

por **Ashitaka** Ter 17 Fev 2015, 00:10

Dá pra demonstrar por polinômio simétrico também.
Demonstração de uma fatoração importante. QhPLX6J

Demonstração de uma fatoração importante. LmiunAe

A solução parece grande, mas note que sabendo a expressão de Sn para 3 termos, a fatoração sai em 2 linhas.

por Hoshyminiag Qui 09 Abr 2015, 22:27

Demonstração por fatoração a nível ensino fundamental:

Queremos fatorar: x³ + y³ + z³ - 3xyz

Sabemos que (x+y+z)³ = x³ + y³ + z³ + 3.(x+y).(y+z).(x+z) ---> (x³ + y³ + z³) = (x+y+z)³ - 3.(x+y).(x+z).(y+z)
Substituindo na expressão:

(x+y+z)³ - 3.(x+y).(y+z).(x+z) - 3xyz
(x+y+z)³ - 3x²y - 3x²z - 3xz² - 3xy² - 3y²z - 3yz² - 9xyz
(x+y+z)³ - 3. (x²y + x²z + xz² + xy² + y²z + yz² + 3xyz)
(x+y+z)³ - 3. (x²y + xyz + x²z + xyz + xz² + xyz + xy² + y²z + yz²)

Vamos tentar fatorar x²y + xyz + x²z + xyz + xz² + xyz + xy² + y²z + yz²
x.(xy + yz + xz) + z.(xy + xz + yz) + y.(xy + xz + yz) = (x+y+z) . (xy + xz + yz)
Substituindo na expressão:

(x + y + z)³ - 3.(x + y + z).(xy + yz + xz)
(x + y + z) . (x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xy - 3xz - 3yz)
(x+y+z) . (x² + y² + z² - xy - xz - yz)

C.Q.D.