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Demonstração de uma fatoração importante.

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Demonstração de uma fatoração importante. Empty Demonstração de uma fatoração importante.

Mensagem por Robson Jr. Sab 18 Ago 2012, 15:49

Muitos aqui certamente já se depararam com a seguinte identidade:



Há alguns modos de se deduzir essa fatoração, dentre eles um que envolve matrizes e será abordado a seguir.

Demonstração:

Considere o determinante:



Pelo teorema de Jacobi, podemos escrever a coluna 1 como a soma das três colunas:



Desenvolvendo o determinante da direita:



Então, de fato:



CqD
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Demonstração de uma fatoração importante. Empty Re: Demonstração de uma fatoração importante.

Mensagem por Andrew Wiles Seg 21 Abr 2014, 09:40

obrigado, não conhecia esse tipo.
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Demonstração de uma fatoração importante. Empty Re: Demonstração de uma fatoração importante.

Mensagem por Ragnar Lothbrok Sex 03 Out 2014, 12:23

Muito obrigado. Estava com uma questão dessa na mão e com a resolução so que ele não fazia menção ao Teorema de Jacobi. Ficou muito mais compreensível.

Ragnar Lothbrok
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Demonstração de uma fatoração importante. Empty Re: Demonstração de uma fatoração importante.

Mensagem por Ashitaka Ter 17 Fev 2015, 00:10

Dá pra demonstrar por polinômio simétrico também.
Demonstração de uma fatoração importante. QhPLX6J
Demonstração de uma fatoração importante. LmiunAe
A solução parece grande, mas note que sabendo a expressão de Sn para 3 termos, a fatoração sai em 2 linhas.

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Demonstração de uma fatoração importante. Empty Re: Demonstração de uma fatoração importante.

Mensagem por Hoshyminiag Qui 09 Abr 2015, 22:27

Demonstração por fatoração a nível ensino fundamental:

Queremos fatorar: x³ + y³ + z³ - 3xyz

Sabemos que (x+y+z)³ = x³ + y³ + z³ + 3.(x+y).(y+z).(x+z) ---> (x³ + y³ + z³) = (x+y+z)³ - 3.(x+y).(x+z).(y+z)
Substituindo na expressão:

(x+y+z)³ - 3.(x+y).(y+z).(x+z)  - 3xyz
(x+y+z)³ - 3x²y - 3x²z - 3xz² - 3xy² - 3y²z - 3yz² - 9xyz
(x+y+z)³ - 3. (x²y + x²z + xz² + xy² + y²z + yz² + 3xyz)
(x+y+z)³ - 3. (x²y + xyz + x²z + xyz + xz² + xyz + xy² + y²z + yz²)

Vamos tentar fatorar x²y + xyz + x²z + xyz + xz² + xyz + xy² + y²z + yz² 
x.(xy + yz + xz) + z.(xy + xz + yz) + y.(xy + xz + yz) = (x+y+z) . (xy + xz + yz)
Substituindo na expressão:

(x + y + z)³ - 3.(x + y + z).(xy + yz + xz)
(x + y + z) . (x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz - 3xy - 3xz - 3yz)
(x+y+z) . (x² + y² + z² - xy - xz - yz)


C.Q.D.
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Demonstração de uma fatoração importante. Empty Re: Demonstração de uma fatoração importante.

Mensagem por Convidado Dom 27 Mar 2016, 02:34

O método do cálculo dessa fatoração por matrizes é genial!

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Demonstração de uma fatoração importante. Empty Re: Demonstração de uma fatoração importante.

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