Combinatória (Cebraspe)

(Cebraspe) Considere que, em uma empresa, seja utilizado sistema de códigos com apenas dois tipos de símbolos (1 e 2), sendo cada código formado por uma sequência desses símbolos, cuja ordem é igual à soma dos algarismos que formam o código, a exemplo dos códigos distintos 1, 11, 12 e 121, que são de ordem 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Considere, ainda, que S(0)=1 e que S(n) é igual ao número de códigos distintos de ordem n, onde n > 1. O número máximo de códigos distintos de ordem menor ou igual a 10 é:

a)230 

b)180 

c)120 

d)72 


e)55


Não sei chegar ao resultado. Gabarito em negrito nas opções. 

Olá, Eduardo.

Para n = 10, temos os códigos:

22222
112222
1111222
11111122
111111112
1111111111

Permutando esses números, temos 5!/(5!.0!) + 6!/(4!.2!) + 7!/(3!.4!) + 8!/(2!.6!) + 9!/(1!.8!) + 10!/(0!.10!) = 1 + 15 + 35 + 28 + 9 + 1 = 89.

Para n = 9, temos os códigos:

12222
111222
1111122
11111112
111111111

Permutando esses números, temos 5!/(4!.1!) + 6!/(3!.3!) + 7!/(2!.5!) + 8!/(1!.7!) + 9!/(0!.9!) = 5 + 20 + 21 + 8 + 1 = 55.

Ao meu ver, o gabarito não está coerente, afinal, pede-se para ordem menor ou igual a 10.   

Detalhe que a definição de S está meio solta.

S(0) = 1, o que não faz sentido para o que é pedido, e S(n) para n > 1. O que ocorre para n = 1? 

Enfim, poderia confirmar a fonte e o gabarito?

Abs