Milagre de Morley

por libros123 Sex 21 Jun 2013, 22:34

(“Milagre de Morley”) Na figura abaixo, as cevianas que saem dos vértices dividem os ângulos em três ângulos iguais. Prove que DEF é um triângulo equilátero.

Milagre de Morley Clip_image018_thumb%25255B2%25255D

Olá, pessoal!!!

Alguém poderia ajudar a fazer esta questão?

por libros123 Sáb 22 Jun 2013, 10:03

Seja o triângulo $Milagre de Morley Gif$ . Os pontos de intersecção das trissectrizes adjacentes geram o triângulo menor $Milagre de Morley Gif$ . O objetivo é provar que o mesmo é equilátero.

Ângulos relacionados

Para começar, calcularemos os ângulos $Milagre de Morley Gif$ , $Milagre de Morley Gif$ , $Milagre de Morley Gif$ e $Milagre de Morley Gif$ .

$Milagre de Morley Gif$
$Milagre de Morley Gif.latex?%3CDGH%3E=180^o-\left(\frac{b}{3}+\frac{c}{3}\right)=\frac{3.180^o-(b+c)}{3}=\frac{180^o-(b+c)+2$
$Milagre de Morley Gif$

Analogamente,

$Milagre de Morley Gif$

Os cálculos dos ângulos $Milagre de Morley Gif$ e $Milagre de Morley Gif$ ficam como desafio aos leitores.

Respostas:

$Milagre de Morley Gif$

Identidade para $Milagre de Morley Gif$

A seguinte identidade será útil . Junto com a lei dos senos, é um dos principais lemas do teorema.

$Milagre de Morley Gif$

Demonstração

$Milagre de Morley Gif$

Aplicando $Milagre de Morley Gif$ ,

$Milagre de Morley Gif$

Aplicando $Milagre de Morley Gif$ e $Milagre de Morley Gif$ onde houver arco duplo,

$Milagre de Morley Gif$

$Milagre de Morley Gif$

$Milagre de Morley Gif$

Fazendo $Milagre de Morley Gif$ , temos

$Milagre de Morley Gif$

$Milagre de Morley Gif$

Usando a identidade $Milagre de Morley Gif$ no segundo membro, temos

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?sen%20\%20\theta=sen%20\%20\frac{\theta}{3}\left[4\left(\frac{1+cos%20\%20\frac{2\theta}%20{3}}{2}\right%20)%20-1\right%20]\Rightarrow[/img]

[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?sen%20\%20\theta=sen%20\%20\frac{\theta}{3}\left[2\left(1+cos%20\%20\frac{2\theta}{3}\right)%20\right%20-1]\Rightarrow[/img]

$Milagre de Morley Gif$

Fazendo $Milagre de Morley Gif$ , obtemos

$Milagre de Morley Gif$

No segundo membro e entre parênteses, usando $Milagre de Morley Gif$ ,chegamos a

$Milagre de Morley Gif$

Mas lembrem-se que os ângulos suplementares ( que somam $Milagre de Morley Gif$ ) possuemsenos iguais ( pois um encontra-se no $Milagre de Morley Gif$ quadrante e o outro no $Milagre de Morley Gif$ quadrante do ciclo trigonométrico ). Portanto,

$Milagre de Morley Gif$

Substituindo este resultado na última expressão para $Milagre de Morley Gif$ , concluimos nossa demonstração para a identidade.

$Milagre de Morley Gif$

LEI DOS SENOS. Cálculo dos segmentos $Milagre de Morley Gif$ e $Milagre de Morley Gif$ .

Considerando o triângulo $Milagre de Morley Gif$ inscrito em um círculo de raio $Milagre de Morley Gif$ , temos, pela lei dos senos

$Milagre de Morley Gif$

onde tiramos $Milagre de Morley Gif$

Logo, pela identidade anteriormente provada,

$Milagre de Morley Gif$

Aplicaremos agora a lei dos senos no triângulo $Milagre de Morley Gif$ , onde usaremos a expressão anterior de $Milagre de Morley Gif$ para encontrar uma outra para $Milagre de Morley Gif$ :

$Milagre de Morley Gif$
$Milagre de Morley Gif.latex?DC=sen%20\%20\frac{b}{3}$

$Milagre de Morley Gif.latex?DC=sen%20\%20\frac{b}{3}$

$Milagre de Morley Gif$

LEI DOS SENOS. Cálculo do lado $Milagre de Morley Gif$ e por extensão, dos lados $Milagre de Morley Gif$ e $Milagre de Morley Gif$ .

Seja o triângulo EDC inscrito em um círculo de raio $Milagre de Morley Gif$ . Novamente, pela lei dos senos,

$Milagre de Morley Gif$

$Milagre de Morley Gif.latex?r=\frac{DC%20}{2.%20\%20sen%20\%20%3CEJK%3E}%20=\frac{8R%20\%20sen%20\%20\frac{a}{3}%20\%20\%20sen%20\%20\frac{b}{3}%20\%20sen%20\%20\frac{a+180^o}{3}}{2$

Calculado o raio $Milagre de Morley Gif$ , vamos ao lado $Milagre de Morley Gif$ :

$Milagre de Morley Gif$

$Milagre de Morley Gif.latex?DE=2r$

$Milagre de Morley Gif$

Fizemos este cálculo em relação ao triângulo $Milagre de Morley Gif$ com base no ângulo $Milagre de Morley Gif$ .

O mesmo cálculo em relação ao triângulo $Milagre de Morley Gif$ com base no ângulo $Milagre de Morley Gif$ , chegaríamos à