Desarranjos

Oi

Estava pensando em uma maneira de escrever n! como uma soma de desarranjos (permutações caótica).

Pensei no seguinte:

Quero contar, primeiramente, todas as permutações em temos um único elemento fixo e os demais (n-1) não. Pensei que seria

(n choose 1) D_n-1

Agora 2 elementos fixos e n-2 não:

(n choose 2) D_n-2

estou escolhendo os,elementos que ficarão fixos e garantindo que os demais estão em outra posição
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n-1 elementos fixos: Ora, se temos n-1 elementos fixos, temos n elementos fixos, certo?
Há 1 unica permutação em que os n elementos permanecem em seus lugares.

Mas, não podemos esquecer as permutações em que nenhum dos elementos estão fíxos, que seria D_n

Se eu somar tudo isso, é garantido que isso dá n! ou estou contando alguma coisa dobrada?