(ITA) Seja (a1, a2, .... , an) uma progressão

por purplelary Dom 16 Jun 2013, 14:57

(ITA) Seja (a1, a2, .... , an) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q > 0. O produto de seus termos é igual a 2^25 e o termo do meio é 2^5. Se a soma dos (n - 1) primeiros termos é igual a 2(1 + q)*(1 + q^2), então:
a) a1 + q = 16
b) a1 + q = 12
c) a1 + q = 10
d) a1 + q + n = 20
e) a1 + q + n = 11

RESPOSTA : e) a1 + q + n = 11

Como resolve esta questão? Obrigada !

por **JOAO [ITA]** Dom 16 Jun 2013, 15:49

Primeiro, vou deduzir uma expressão para calcular o produto dos termos de uma P.G.

P[n] = (a[1]).(a[1].q).(...).(a[1].q^(n-1)) <=>
<=> P[n] = (a[1]^n).q^(1 + 2 + (...) + (n - 1))
Perceba que o expoente de 'q' é uma soma de P.A.
Assim: P[n] = (a[1]^n).q^[[n.(n - 1)]/2] = 2^(25) -> (eq1)

Dos dados do enunciado, tem-se que a soma dos (n - 1) primeiros termos é igual a 2.(q + 1).(q² + 1).
Em linguagem matemática:
S[n - 1] = 2.(q + 1).(q² + 1) =>
=> [a[1].(q^(n - 1) - 1)]/(q - 1) = 2.(q + 1).(q² + 1)<=>
<=> a[1].(q^(n - 1) - 1) = 2.(q² - 1).(q² + 1) <=>
<=> a[1].(q^(n - 1) - 1) = 2.((q^4) - 1) --> (eq2)

Também foi dada a informação de que o termo do meio é igual a 2^5.
Ora, mas como se trata de uma progressão geométrica com uma quantidade ímpar de termos é fácil demonstrar que o termo do meio é dado pela média geométrica dos outros termos.
Assim: (P[n]/[a[1].q^[(n - 1)/2]])^(1/(n - 1)) = 2^5 => (eq2):
((2^(25))/[a[1].q^[(n - 1)/2]])^(1/(n - 1)) = 2^5 <=>
<=> 2^[5.(6 - n)] = a[1].q^[(n - 1)/2] <=>
<=> 2^[5.n.(6 - n)] = (a[1]^n).q^[(n.(n - 1))/2] = P[n] = 2^(25) =>
=> 2^[5.n.(6 - n)] = 2^(25) <=> n.(6 - n) = 5 <=> n² - 6.n + 5 = 0 <=>
<=> n = 1 ou n = 5.

É claramente impossível existir uma progressão geométrica com um único termo.

Assim: n = 5.

De (eq2): a[1].(q^(4) - 1) = 2.((q^4) - 1) <=> a[1] = 2.

Agora, a razão 'q' é obtida facilmente de (eq1):
(a[1]^n).q^[[n.(n - 1)]/2] = 2^(25) => q = 4.

Assim: a[1] + q + n = 2 + 4 + 5 = 11.

por Anderson_007 Dom 16 Jun 2013, 16:18

Usei um raciocínio semelhante para achar o número de termos:
$Produto\; dos\; termos\; de\; uma\; P.G.: P_{n}=a_{1}^n.q^{\frac{n(n-1)}{2}} = a_{1}^n.(q^{n-1})^{\frac{n}{2}} = (a_{1}^2.q^{n-1})^{\frac{n}{2}} = 2^{25}\; (i)\\ Termo\; geral\; da \; P.G.: a_{k} = a_{1}.q^{k-1}\\ Termo\; do\; meio: a_{1}.q^{[(\frac{n+1}{2}) - 1]}=2^5 \Rightarrow (a_{1}.q^{\frac{n-1}{2}})^{\2} = (2^5)^2 \rightarrow a_{1}^2.q^{n-1}=2^{10}\; (ii)\\ Substituindo\; (ii)\; em\; (i),\; temos: (2^{10})^{\frac{n}{2}} = 2^{25} \Rightarrow 2^{5n} = 2^{25} \Rightarrow 5n = 25\Rightarrow n=5$