Integral definida

por Luciana Bittencourt Ter 11 Jun 2013, 10:53

Calcule $\int ^1_0 \frac{2x}{1+x^2} dx$

por **Adam Zunoeta** Ter 11 Jun 2013, 11:53

u=1+x²

du=2x*dx ---> dx=du/(2x)

por **Elcioschin** Ter 11 Jun 2013, 12:01

Faltou dx na sua integral

Fazendo x = tgθ ----> dx = sec²θ.dθ

Limites para θ ----> x = 0 ----> tgθ = 0 ----> θ = 0 ----> x = 1 ----> tgθ = 1 ----> θ = pi/4

[2x/(1 + x²)]dx = [2.tgθ/(1 + tg²θ)].sec²θ.dθ = [2.tgθ/sec²θ].sec²θ.dθ = 2.tgθ.dθ

∫2.tgθ.dθ = 2.∫tgθ.dθ = 2.|- ln(cosθ)| = 2.|- lncos(pi/4)| - 2.|- lncos0| = - 2.|- ln(\/2/2)| - 2,|- ln1| =

= 2|- (ln\/2 - ln2)| - 2.0 = 2.|- (1/2).ln2 + ln2| = 2.| - (1/2).ln2| = |ln2| = ln2

por Luciana Bittencourt Ter 11 Jun 2013, 12:28

Já corrigi o erro Elcio. Smile

Continuei a resolução do Adam e cheguei no mesmo lugar quando tentei por outro jeito: $1+\ln 2-\ln0$ , e 0 não faz parte do domínio de ln, correto?

Tem algum outro jeito de resolver sem usar a tangente?

por **Elcioschin** Ter 11 Jun 2013, 13:21

A solução do Adam é bem mais rápida
Você errou nas contas. Veja:

u = 1 + x² ----> du = 2xdx ----> dx = du/2x

[2x/(1 + x²)]dx = [2x/u].[du/2x] = (1/u).du

∫(1/u)du = ln|u| = ln|1 + x²|

Aplicando os limites ----> ln|1 + 1²| - ln|1 + 0²| = ln|2| - ln|1| = ln2 - 0 = ln2