Produtos Notáveis 2

por LeoFruscianteJr11 Sáb 01 Jun 2013, 19:50

Se $\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{b+a} =1$ então $\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{b+a} = ?$ :

Spoiler:

por danjr5 Ter 04 Jun 2013, 21:14

Desenvolvendo,...

$\\ \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{b + a} = 1 \\\\ \frac{a}{b + c_{/(c + a)(b + a)}} + \frac{b}{c + a_{/(b + c)(b + a)}} + \frac{c}{b + a_{/(b + c)(c + a)}} = \frac{1}{1_{/(b + c)(c + a)(b + a)}} \\\\ a(c + a)(b + a) + b(b + c)(b + a) + c(b + c)(c + a) = (b + c)(c + a)(b + a) \\\\ a^3 + b^3 + c^3 + 3abc + a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 = b^2c + ab^2 + bc^2 + abc + abc + a^2b + a^2c + ac^2 \\\\ a^3 + b^3 + c^3 + abc = 0$

Até aqui, nenhum mistério, apenas desenvolvi (distributiva +redução de termos semelhante)! A próxima 'etapa' consiste em atribuir valores às variáveis (a, b e c).
Ao resolver a questão pela 1ª vez, atribuí os seguintes valores: $\begin{cases} a = 0 \\ b = 1 \\ c = - 1 \end{cases}$

Note que, temos uma equação com três variáveis, portanto, diversas soluções! Para encontrá-las atribua valores (quaisquer) a duas delas e encontre a terceira, certo?!

Para finalizar,

$\\ \frac{a^2}{b + c} + \frac{b^2}{c + a} + \frac{c^2}{b + a} = \\\\\\ \frac{0^2}{1 - 1} + \frac{1^2}{- 1 + 0} + \frac{(- 1)^2}{1 + 0} = \\\\\\ \frac{0}{0} + \frac{1}{- 1} + \frac{1}{1} = \\\\ - 1 + 1 = \\ \boxed{0}$

por lucas.alves Ter 04 Jun 2013, 22:28

multiplique ( a/b+c + b/c+a + c/b+a) =1 por a +b + c . fazendo a conta a^2/b+c + b^2/b+c + c^2 /b+a +a + b + c = a+b+ c logo a resposta será 0

por lorramrj Ter 04 Jun 2013, 22:42

danjr5

na parte:
atribuir valores às variáveis (a, b e c).

Esses valores você criou ? para que a equação se iguala-se a 0 ?
não entendi muito bem!

por danjr5 Qua 05 Jun 2013, 03:16

Lorramrj,
não, não os criei! [risos].

Atribua valores a "a" e a "b", o "c" descobrimos através de cálculos!

Fazendo $\begin{cases} a = 2 \\ b = - 2 \end{cases}$ , obtemos:

$\\ a^3 + b^3 + c^3 + abc = 0 \\ - 8 + 8 + c^3 - 4c = 0 \\ c(c^2 - 4) = 0 \\ c(c + 2)(c - 2) = 0$

Note que "c" admite três valores: - 2, 0, 2. Daí, (a, b, c) = (2, - 2, - 2); (2, - 2; 0)(2, - 2, 2).