(UnB/1.2013)Torque

A figura a seguir ilustra um joão-bobo que foi construído usando-se um cilindro homogêneo de comprimento L = 50 cm e raio r = 10 cm, preso a um hemisfério não homogêneo de raio R. O cilindro tem massa M = 300 g e o hemisfério tem massa m = 1.200 g. O centro de massa do hemisfério está à distância 0,9R do ponto P.



Considerando essas informações, calcule o menor valor de h, em centímetros, para que o joão-bobo sempre volte à posição de equilíbrio. Multiplique o resultado encontrado por 10. Para a marcação no Caderno de Respostas, despreze, caso exista, a parte fracionária do resultado final obtido, após ter efetuado todos os cálculos necessários.

Resposta: 297

''Da forma que o problema foi proposto, o que garante que o joão-bobo sempre volte à posição de
equilíbrio é o fato de o CM do conjunto ficar no
hemisfério. Qualquer valor de h > 0 faz com que
isso aconteça. Só teríamos o CM do conjunto no
cilindro para um h = –3,06 cm, uma solução matemática viável, mas geometricamente problemática, já que geraria uma quina que poderia bater no
chão''

Acho que isso item foi anulado , não foi ?

marcioamorim escreveu:''Da forma que o problema foi proposto, o que garante que o joão-bobo sempre volte à posição de
equilíbrio é o fato de o CM do conjunto ficar no
hemisfério. Qualquer valor de h > 0 faz com que
isso aconteça. Só teríamos o CM do conjunto no
cilindro para um h = –3,06 cm, uma solução matemática viável, mas geometricamente problemática, já que geraria uma quina que poderia bater no
chão''

Acho que isso item foi anulado , não foi ?

Segundo o gabarito oficial, não foi anulado. Essa resposta aí é da resolução do Olimpo, certo?

é do olimpo e eu concordo com eles.

Alguém saberia resolver? O gabarito não foi alterado / anulado

Up

Olá gusborgs.

Observe que o joão-bobo estará tombado ao máximo quando um ponto da base do cilindro tocar o chão.



A linha vermelha é a linha perpendicular a superfície do chão que passa pelo ponto de contato do hemisfério com o chão. Existem três casos com respeito ao torque do centro de massa do joão bobo em relação ao ponto de contato do hemisfério com o chão:

(I) Se o centro de massa do joão bobo estiver no semiplano da esquerda delimitado pela linha vermelha, existirá um torque restaurador no joão bobo que tenderá fazê-lo girar no sentido anti-horário.
(II) Se o centro de massa estiver contido na linha vermelha a força peso resultante do joão bobo não exerce torque .
(III) Se o centro de massa estiver a direita da linha vermelha, no ponto de contato do cilindro com o chão irá surgir uma força normal que irá se opor ao torque do CM.(obs: Se o CM estiver muito a direita da linha vermelha, irá surgir um torque que tenderá girar o joão bobo no sentido horário, provocando um equilíbrio estável onde toda a superfície da base do cilindro toca o chão, algo próximo de um cogumelo fixado no chão)

Então para, resolver o problema basta analisar o caso onde o torque restaurador em relação ao ponto de contato do hemisfério com o chão está na iminência de desaparecer que é o limite do caso (II).
Na situação descrita o torque é nulo e, ao mesmo tempo, o CM está sobre a reta vermelha

Tenta fazer, posteriormente, se você não conseguir, eu posto a resolução completa.

Bons estudos

Muito obrigado pela ajuda, amigo.
Vou tentar fazer aqui, porém creio que vai dar certo, sua explicação faz muito sentido.
Abração