Limites

Verifique se a afirmação abaixo sobre limites é verdadeira ou falsa:

Se f e g são funções tais que lim_(x->xo) (f(x) + g(x)) = L (real) e lim_(x->xo) (g(x)) = L2 (real), então existe,im_(x->xo) f(x) = L-L2

Se verdadeira, justifique. Se falsa, de um contra exemplo.

lim f(x) + g(x) = L (pelo enunciado, esse limite existe)

O limite da soma é igual a soma dos limites

lim f(x) + lim g(x) = L

lim f(x) = L - L2

Leo, queria saber se há como somar um limite que não existe com outro que existe e dar um limite que existe.

Nesse caso, como se o limite de f(x) não existisse.

De fato, o que você disse está correto, para limites que existem.

Os dois limites devem existir.

Vamos pensar um pouco sobre essa expressão: lim f(x) + g(x) quando x tende a xo


Para achar esse limite o que você precisa fazer? Pensar na soma dessas funções como uma única função:

h(x) = f(x) + g(x).

Agora, montamos o gráfico de h e analisamos qual o comportamento de h(x) quando x -> xo. Dessa forma achamos o limite de h(x) quando x -> xo.

Concorda que podemos, em vez de analisar o comportamento de h(x), analisar separadamente os comportamentos de f(x) e de g(x) ? Se f(x) tende a um certo valor A quando x -> xo, e g(x) tende a um certo valor B quando x -> xo, é aceitável que a soma das duas funções(h(x)) tenda a A + B quando x -> xo. Concluímos, portanto, que, se uma das funções não tiver limite, a soma também não terá.

A recíproca não é verdadeira. É possível que duas funções possuam limite, mas a junção delas não possua. Isso ocorre nas funções racionais:

lim f(x) = 1
lim g(x) = 0

Qual o lim f(x)/g(x)? Esse limite não existe(essa nova função racional explode*).


* O fato de usarmos a notação de infinito nesses casos não significa que o limite exista. O limite é sempre um número. A notação "infinito" é apenas uma descrição de uma "não existência" em particular.

Demais, Leo.

Obrigada

Acho que vale a pena reativar o tópico para uma explicação que fique mais objetiva:

Seja h(x) = f(x) + g(x). Por hipótese, temos que lim(x->xo) f(x) + g(x) = lim(x->xo) h(x) = L

Temos que f(x) = h(x) - g(x) e sabemos que existe, também por hipótese lim(x-> xo) g(x) = L1

Assim:
lim(x-xo) f(x) = lim (x-xo) h(x) - g(x) = lim(x->xo) h(x) - lim(x->xo)g(x) = L-L1

O que prova que a afirmação é verdadeira. Talvez fique um pouco mais concreto desta maneira