O atirador e o macaco.

por William Carlos Seg 25 Mar 2013, 19:47

No problema do caçador e do macaco, mostre analiticamente que a bala atinge o alvo, e calcule em que instante isso ocorre, para uma dada distância d entre eles e altura h do galho, sendo Vo a velocidade inicial da bala. Interprete o resultado.4

O atirador e o macaco. 25032013081

Eu mostrei que eles se encontram do seguinte modo:

As equações do macaco são:

$Ym=h-\frac{gt^{2}}{2}$

Para a bala temos:

$V_{0}x=V_{0}cos\theta \\V_{0}y=V_{0}sen\theta \\Xb=V_{0}xt\\Yb=V_{0}yt-\frac{gt^{2}}{2}$

Isolando Vo em Vox=Vocosθ e substituindo em Voy:

$V_{0}=\frac{V_{0}x}{cos\theta }\\V_{0}y=\frac{V_{0}x}{cos\theta }*sen\theta \rightarrow V_{0}y=V_{0}xtg\theta$

Sabemos que tgθ = (h/d), logo:

$V_{0}y=V_{0}x\left ( \frac{h}{d} \right )$

Substituindo na equação de espaço:

$Yb=V_{0}x\left ( \frac{h}{d} \right )t-\frac{gt^{2}}{2}$

Encontraremos agora o instante em que a bala atinge a coordenada d.

$Xb=V_{0}xt\rightarrow t=\frac{Xb}{V_{0}x}\\ Xb=d\\\rightarrow t=\frac{d}{V_{o}x}$

Susbtituindo esse valor de t na equação da bala e do macaco veremos que elas são iguais.

Até ae blz, o que não estou conseguindo é encontrar o instante em que isso ocorre, para mim seria o t=(d/Vox), mas o livro da como resposta:

$t=\sqrt{\frac{h^{2}+d^{2}}{V_{0}}}$

Se alguém puder me ajudar ficarei grato.

por **aryleudo** Sáb 30 Mar 2013, 21:57

William Carlos escreveu:No problema do caçador e do macaco, mostre analiticamente que a bala atinge o alvo, e calcule em que instante isso ocorre, para uma dada distância d entre eles e altura h do galho, sendo Vo a velocidade inicial da bala. Interprete o resultado.4

Eu mostrei que eles se encontram do seguinte modo:

As equações do macaco são:

$Ym=h-\frac{gt^{2}}{2}$

Para a bala temos:

$V_{0}x=V_{0}cos\theta \\V_{0}y=V_{0}sen\theta \\Xb=V_{0}xt\\Yb=V_{0}yt-\frac{gt^{2}}{2}$

Isolando Vo em Vox=Vocosθ e substituindo em Voy:

$V_{0}=\frac{V_{0}x}{cos\theta }\\V_{0}y=\frac{V_{0}x}{cos\theta }*sen\theta \rightarrow V_{0}y=V_{0}xtg\theta$

Sabemos que tgθ = (h/d), logo:

$V_{0}y=V_{0}x\left ( \frac{h}{d} \right )$

Substituindo na equação de espaço:

$Yb=V_{0}x\left ( \frac{h}{d} \right )t-\frac{gt^{2}}{2}$

Encontraremos agora o instante em que a bala atinge a coordenada d.

$Xb=V_{0}xt\rightarrow t=\frac{Xb}{V_{0}x}\\ Xb=d\\\rightarrow t=\frac{d}{V_{o}x}$

Susbtituindo esse valor de t na equação da bala e do macaco veremos que elas são iguais.

Até ae blz, o que não estou conseguindo é encontrar o instante em que isso ocorre, para mim seria o t=(d/Vox), mas o livro da como resposta:

$t=\sqrt{\frac{h^{2}+d^{2}}{V_{0}}}$

Se alguém puder me ajudar ficarei grato.

Note que tg(θ) = h/d. Confere?

Imagine o seguinte: Nesse triângulo que você encontrou a tangente [tg(θ)] o "cateto oposto = h" e o "cateto adjacente = d". Beleza?

No mesmo triângulo citado anteriormente a hipotenusa é: $\sqrt{h^2+d^2}$ . Correto?

Então nesse triângulo teremos:

$cos(\theta)=\frac{d}{\sqrt{h^2+d^2}}$

$sen(\theta)=\frac{h}{\sqrt{h^2+d^2}}$

Bom, você disse que o tempo t = d/v_0X, também disse que v_0X = v₀cos(θ).

Substituindo "cos(θ)" na expressão do tempo que você apresentou:
$\\t =\frac{d}{v_0cos(\theta)}=\frac{d}{v_0\left (\frac{d}{\sqrt{h^2+d^2}} \right )} = \frac{d}{1}\cdot \frac{\sqrt{h^2+d^2}}{v_0d}\\\boxed{t = \frac{\sqrt{h^2+d^2}}{v_0}} \hspace{15}\text{OU}\hspace{15}\boxed{t = \sqrt{\frac{h^2 + d^2}{ v_0^2}}}$

A resposta que você colocou está dimensionalmente ERRADA. Por favor verifique!

por William Carlos Dom 31 Mar 2013, 14:28

Olá!

A resposta que se encontra no livro é a mesma que postei anteriormente.Porém, concordo que esteja errada, deve ter occorrido erro de digitação, ou algo do tipo.Muito obrigado pela ajuda, foi muito mais fácil do que pensei! hehe.Mais uma vez, muito obrigado!

Abraços!

por **aryleudo** Dom 31 Mar 2013, 14:37

Valeu William disponha.

Caso esteja satisfeito com a solução apresentada clique no botão "EDIT" e aperte no botão "RESOLVIDO" logo abaixo de ENVIAR!

Att.,

Aryleudo (Ary)

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