O macaco e o atirador.

por VictorVerdi 30/3/2017, 2:37 pm

Ola a todos do fórum! Meu nome é Victor, estudando de Engenharia Civil, 1º semestre!

O professor de Física passou um exemplo, com a distancia, altura e a trajetória da bala, para achar o instante e provar que sempre vai atingir o macaco.
Ele provou, com os cálculos, que quanto o caçador atira de qualquer distancia, e o macaco esta de qualquer altura, se ele atira com a mira no macaco, e o macaco solta o galho bem na hora do tiro, o caçador sempre acertara o macaco...

Mas na lista ele deu apenas a altura do macaco e o valor de Vo.
Consigo chegar em um tempo, ou vai ficar uma equação ainda, uma fórmula?

Segue a atividade:

Um caçador, localizado a uma distância de uma árvore, dispara contra um macaco que se encontra em um galho a uma altura 4m.
No exato instante do disparo, o macaco se solta do galho. Sendo v0 a velocidade inicial da bala, mostre analiticamente que a bala atinge o macaco, e calcule o instante em que isto ocorre. Vo = 200 m/s

por **Euclides** 30/3/2017, 4:40 pm

É evidente que o projétil deve ter velocidade para passar na posição em que se encontra o pé da vertical antes da queda completa do alvo. Um equacionamento preliminar

$\\\begin{cases}h_0=\text{altura do alvo}\\y=\text{uma altura no instante t}\\\theta=\text{\^angulo de visada}\\v_0=\text{velocidade do proj\'etil} \end{cases}\\\\\text{a cada instante,as alturas ser\~ao: }\\\\y_p=v_0\sin\theta t-\frac{gt^2}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y_m=h-\frac{gt^2}{2}$

verifiquemos a condição para que, num dado instante essas alturas sejam iguais

$\\v_0\sin\theta t-\frac{gt^2}{2}=h-\frac{gt^2}{2}\;\;\to\;\;v_0\sin\theta t=h\;\;(1)\\\\\text{na dist\^ancia horizontal:}\\\\x=v_0\cos\theta t\;\;(2)\;\;\;\;\text{e se o instante \'e o mesmo,}\\\\\frac{h}{v_0\sin\theta}=\frac{x}{v_0\cos\theta}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\frac{h}{x}=\tan\theta\;\;\text{(esta condi\c{c}\~ao \'e sempre verdadeira)}$

ou seja: basta mirar diretamente no alvo. Moral da história: "macaco esperto não pula"

por VictorVerdi 31/3/2017, 9:11 am

Então, não vou ter um numero inteiro na resposta correto?

Vou ter algo como: 4 / 200.cosθ = tanθ

Para a resposta posso usar dessa forma, sendo que ja comprovamos que a bala sempre acerta o macaco?

por VictorVerdi 4/4/2017, 11:00 am

@Euclides pode me ajudar?

por **Euclides** 4/4/2017, 3:22 pm

VictorVerdi escreveu:@Euclides pode me ajudar?

Eu imaginei que já tivesse feito isso. Demonstrei para o caso geral. Ponha seus números e conclua que vale para seu caso particular.

por portugal1996 16/3/2018, 8:41 am

E se por ventura tivesse de descobrir a velocidade inicial do atirador para que a bala se cruzasse com o macaco no chão? Como poderia fazer amigos?

por **Euclides** 16/3/2018, 1:50 pm

portugal1996 escreveu:E se por ventura tivesse de descobrir a velocidade inicial do atirador para que a bala se cruzasse com o macaco no chão? Como poderia fazer amigos?

Existe apenas uma velocidade mínima como condição de que o alvo seja atingido. Essa velocidade é a que confere ao projétil um alcance máximo igual à distância horizontal entre o ponto de partida do projétil e o ponto de queda do alvo. No applet acima essa situação corresponde à trajetória em vermelho. Qualquer velocidade acima dessa atingirá o alvo.

por portugal1996 16/3/2018, 6:53 pm

Fiz tudo pelas equações do movimento, mas não consegui comprovar nada nem mesmo a um valor amigo, tem alguma ideia?

Igualei a equação do caçador x=d, mas mesmo assim não consegui Sad

por **Euclides** 16/3/2018, 10:52 pm

As únicas condições para que o alvo seja atingido são:

1. que o projétil tenha alcance mínimo pelo menos igual à distância horizontal que o separa do alvo.

2. que o ângulo de visada seja diretamente apontado para a posição inicial do alvo.

a velocidade mínima é tal que:

$x=v_0\cos\theta t\;\;\to\;\;v_0=\frac{x}{\cos\theta t}$

o tempo disponível é o tempo de queda do alvo até o chão

$\\h=\frac{gt^2}{2}\;\;\to\;t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\\\\\\v_0=\frac{x}{\cos\theta \sqrt{\frac{2h}{g}} }\to \boxed{v_0=\frac{x}{\cos \theta}\cdot\sqrt{\frac{g}{2h}}}$