A Regra de L'Hôpital (6) - Apêndice I

por **Euclides** Ter Fev 05 2013, 12:30

......A Regra de L'Hôpital

(por Guillaume François Antoine, Marquês de l'Hôpital, em 1696)..

..quando aprendemos as técnicas para o cálculo de limites deparamo-nos com certas situações chamadas ..indeterminações. Limites como:

.. $\lim_{x\to3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$

..ou

.. $\lim_{x\to\infty}\frac{x^5+1}{3x^3-9x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{x\to -\infty}\frac{\ln x}{x-1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\lim_{x\to\infty}\frac{3^x}{x^2}$

..que nos conduzem a resultados preliminares como

.. $\frac{0}{0}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;ou\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\infty}{\infty}$

..que são dois tipos de indeterminações.

..Nesses casos o recurso era buscar uma forma de fatoração ou manipulação algébrica que pudesse "levantar" a ..indeterminação, isto é, contorná-la. Em alguns casos isso será simples e outras vezes muito trabalhoso.

..A regra de L'Hôpital nos garante que (nesses casos de indeterminação) se $f(x)$ e $g(x)$ forem ambas funções diferenciáveis e $g(x)\neq0$ , exceto para .. $x=a$ , então

...... $\boxed{\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}}$

..Tomemos como exemplo o primeiro limite fundamental

...... $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

..esse limite tem um cálculo convencional muito difícil, mas torna-se simples quando se aplica a regra de L'Hôpital

...... $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\cos x=1$

.. ou então

...... $\\\lim_{x\to \infty}\frac{3^x}{x^2}=\frac{\infty}{\infty}\;,\;\;\;\;\;\;\;D(3^x)=\ln(3).3^x\;,\;\;\;\;\;\;D(x^2)=2x\\\\\lim_{x\to \infty}\frac{3^x}{x^2}=\lim_{x\to \infty}\frac{\ln(3)3^x}{2x}=\frac{\infty}{\infty}!!!\\\\D(\ln(3)3^x)=\ln^2(3)3^x\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D{2x}=2\\\\\\\lim_{x\to \infty}\frac{3^x}{x^2}=\lim_{x\to \infty}\frac{\ln^2(3)3^x}{2}=\infty$

..que nos mostra que a regra de L'Hôpital pode ser aplicada sucessivamente até que desapareça a indeterminação. Esta ..é uma ferramenta de enorme utilidade que facilitará muito o cálculo de limites complicados.

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..PS: se você tiver dúvidas neste assunto coloque-as como questões na seção Iniciação ao Cálculo do ..fórum
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