esferas rolamento

por joanaguedes Sáb 26 Jan 2013, 14:33

Duas esferas A e B maciças, são lançadas para rolar sem deslizar ao longo de um plano inclinado, partindo simultaneamente e com a mesma velocidade linear.
A esfera A tem o dobro do raio e o dobro da massa da esfera B. Mostre qual delas pára primeiro e qual chega mais alto no plano inclinado.

por **Euclides** Sáb 26 Jan 2013, 15:43

Sendo para uma esfera $I=k.m.r^2$ temos que $I_A=8I_B$ . As energias cinéticas são:

$\\E_A=\frac{1}{2}I_A\omega_A^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E_B=\frac{1}{2}I_B\omega_B^2$

sendo

$\\\omega_A=\frac{v}{r_A}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\omega_B=\frac{v}{r_B}\;\;\;\;\to\;\;\;\omega_B=2\omega_A$

portanto

$\\E_A=\frac{1}{2}8I_B\frac{\omega_B^2}{4}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E_B=\frac{1}{2}I_B\omega_B^2\;\;\;\to\;\;\;E_A=2E_B$

o mesmo acontece para a energia cinética de translação das esferas em que $\to\;\;\;E_A=2E_B$

$\\E_{cA}=m_Agh_A\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E_{cB}=m_Bgh_B\\\\2E_{cB}=2m_Bgh_A\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;E_{cB}=m_Bgh_B\\\\\therefore h_A=h_B$

por **aryleudo** Sáb 26 Jan 2013, 16:43

Duas esferas A e B maciças, são lançadas para rolar sem deslizar ao longo de um plano inclinado, partindo simultaneamente e com a mesma velocidade linear. A esfera A tem o dobro do raio e o dobro da massa da esfera B. Mostre qual delas pára primeiro e qual chega mais alto no plano inclinado.

DADOS
mA = 2mB
rA = 2rB
vA = vB = V
hA = ?
hB = ?

SOLUÇÃO
Energia Mecânica para a esfera A:
Em(1) = Em(2)
$esferas rolamento %5CLARGE%5C%21%5Cfrac%7Bm_%7BA%7Dv%5E%7B2%7D_%7BA%7D%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BI_%7BA%7Dw%5E2_%7BA%7D%7D%7B2%7D%20%3D%20m_%7BA%7Dgh_%7BA%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bm_%7BA%7Dv%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bm_%7BA%7Dr%5E2_%7BA%7Dw%5E2_%7BA%7D%7D%7B2%7D%20%3D%20m_%7BA%7Dgh_%7BA%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Br%5E2_%7BA%7D%5Ctimes%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%5E2_%7BA%7D%7D%7D%7B2%7D%20%3D%20gh_%7BA%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%3D%20gh_%7BA%7D%5C%5Ch_%7BA%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7Bg%7D$

Energia Mecânica para a esfera B:
$esferas rolamento %5CLARGE%5C%21%5Cfrac%7Bm_%7BB%7Dv%5E%7B2%7D_%7BB%7D%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BI_%7BB%7Dw%5E2_%7BB%7D%7D%7B2%7D%20%3D%20m_%7BB%7Dgh_%7BB%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bm_%7BB%7Dv%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bm_%7BB%7Dr%5E2_%7BB%7Dw%5E2_%7BB%7D%7D%7B2%7D%20%3D%20m_%7BB%7Dgh_%7BB%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Br%5E2_%7BB%7D%5Ctimes%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Br%5E2_%7BB%7D%7D%7D%7B2%7D%20%3D%20gh_%7BB%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%3D%20gh_%7BB%7D%5C%5Ch_%7BB%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7Bg%7D$

Portanto, as alturas atingidas pelas esferas A e B são iguais a hA = hB = v/g.

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