Questão de representação decimal

Relembrando a primeira mensagem :

Sejam A e B dois números de dois algarismos cada um e A < B. Sabendo-se que cada um desses números é igual ao triplo do produto de seus algarismos, qual a razão A/B?
a) 3/8
b) 1/2
c) 3/4
d) 5/8
e) 5/7

Solução:

Seja (ab)₁₀ a forma geral desses dois números. Assim:

10a + b = 3ab ⇒ 9ab - 30a - 3b = 0 ⇒ (3a - 1)(3b-10) = 10

Existem duas possibilidades

i) 3a - 1 = 2 e 3b - 10 = 5 ⇒ a = 1 e b = 5

ii) 3a - 1 = 5 e 3b - 10 = 2 ⇒ a = 2 e b = 4

Temos então A = 15 e B = 24 ⇒ A/B = 15/24 ⇒ A/B =5/8

Dúvidas:

a) como eu posso fatorar essa expressão e chegar no resultado proposto?

9ab - 30a - 3b = 0 ⇒ (3a - 1)(3b-10) = 10

b) por que supos-se que:

3a - 1 = 2 e 3b - 10 = 5

3a - 1 = 5 e 3b - 10 = 2

ivomilton escreveu:

velloso escreveu:Grande Mestre Ivomilton, é sempre uma honra receber sua ajuda.

Muito bela a sua solução.

Só fiquei com uma dúvida no finalzinho. Não entendi o porquê a tem que ser inteiro.

Boa tarde, amigo Velloso.

Vem da parte a seguir:

Seja (ab)₁₀ a forma geral desses dois números. Assim:
10a + b = 3ab ⇒ 9ab - 30a - 3b = 0 ⇒ (3a - 1)(3b-10) = 10

É por que "a" e "b" são os algarismos do número (ab)10 acina, ou seja, os algarismos de 10a + b.
Sendo algarismos de um número, obviamente só poderão ser inteiros.





Um abraço.

Muito obrigado amigo Ivomilton!

Abraços.

Sim ... Na hora de escrever, eu sem querer apaguei o traço -> / <-

mals ... =/

Muito obrigado, Leo!

Outro modo:

Se A e B possuem dois algarismos podem ser escritos da forma:

A = 10x + y = 3xy (i)
B = 10p + q = 3pq (ii)

Resolvendo (i), teremos:

Para x = 1, y = 5 ---> A = 15
Para x = 2, y = 4 ---> A = 24
Para x = 3, y não é natural
Para x = 4, y não é natural
Para x = 5, y não é natural 
Para x = 6, y não é natural 
Para x = 7, y não é natural 
Para x = 8, y não é natural 
Para x = 9, y não é natural 

Logo, A = 15 ou A = 24

O mesmo ocorre em (ii), encontramos:

p = 1 e q = 5 ou p = 2 e q = 4

Logo, B = 15 ou B = 24

Como A <  B, então A = 15 e B = 24

A razão de A/B = 15/24 = 5/8