Questão de representação decimal

Sejam A e B dois números de dois algarismos cada um e A < B. Sabendo-se que cada um desses números é igual ao triplo do produto de seus algarismos, qual a razão A/B?
a) 3/8
b) 1/2
c) 3/4
d) 5/8
e) 5/7

Solução:

Seja (ab)₁₀ a forma geral desses dois números. Assim:

10a + b = 3ab ⇒ 9ab - 30a - 3b = 0 ⇒ (3a - 1)(3b-10) = 10

Existem duas possibilidades

i) 3a - 1 = 2 e 3b - 10 = 5 ⇒ a = 1 e b = 5

ii) 3a - 1 = 5 e 3b - 10 = 2 ⇒ a = 2 e b = 4

Temos então A = 15 e B = 24 ⇒ A/B = 15/24 ⇒ A/B =5/8

Dúvidas:

a) como eu posso fatorar essa expressão e chegar no resultado proposto?

9ab - 30a - 3b = 0 ⇒ (3a - 1)(3b-10) = 10

b) por que supos-se que:

3a - 1 = 2 e 3b - 10 = 5

3a - 1 = 5 e 3b - 10 = 2

a) 9ab - 30a - 3b = 0
9ab - 30a - 3b + 10 = 10


3a(3b - 10) - (3b - 10) = 10
(3b - 10)(3a - 1) = 10

b) Acho que ele chutou valores.

Eu faria:

(3a - 1)(3b-10) = 10
a = [10/3(3b-10) + 1/3]
a = [(10 + (3b-10)]/3(3b-10)]
a = (3b)/3(3b-10)]
a = (b)(3b-10)]


a tem que ser inteiro.
Isso é satisfeito para b = 5 e para b = 4

velloso escreveu:Sejam A e B dois números de dois algarismos cada um e A < B. Sabendo-se que cada um desses números é igual ao triplo do produto de seus algarismos, qual a razão A/B?
a) 3/8
b) 1/2
c) 3/4
d) 5/8
e) 5/7

Solução:

Seja (ab)₁₀ a forma geral desses dois números. Assim:

10a + b = 3ab ⇒ 9ab - 30a - 3b = 0 ⇒ (3a - 1)(3b-10) = 10

Existem duas possibilidades





i) 3a - 1 = 2 e 3b - 10 = 5 ⇒ a = 1 e b = 5

ii) 3a - 1 = 5 e 3b - 10 = 2 ⇒ a = 2 e b = 4

Temos então A = 15 e B = 24 ⇒ A/B = 15/24 ⇒ A/B =5/8

Dúvidas:

a) como eu posso fatorar essa expressão e chegar no resultado proposto?

9ab - 30a - 3b = 0 ⇒ (3a - 1)(3b-10) = 10

b) por que supos-se que:

3a - 1 = 2 e 3b - 10 = 5

3a - 1 = 5 e 3b - 10 = 2

Bom dia, Velloso.

a) como eu posso fatorar essa expressão e chegar no resultado proposto?

9ab - 30a - 3b = 0 ⇒ (3a - 1)(3b-10) = 10

Armando uma conta de multiplicar com ceste formato:

xa - u
yb - v
--------

Note que "x" e "y" devem ser inteiros que reproduzam o coeficiente "9" de 9ab; como 9 somente é decomponível em 3*3, temos que:
x=3
y=3

Substituindo no diagrama acima, fica:

3a - u
3b - v
-------

Aqui, temos que:
3a.-v = -30a
-3av = -30a
v = -30a/3a
v = 10

3b.-u = -3b
-3bu = -3b
u = -3b/-3b
u = 1

3a - 1
3b - 10
--------

E assim, chega-se a:
(3a - 1)(3b - 10) = 9ab - 30a - 3b + 10

Como temos
9ab - 30a - 3b = 0

temos que subtrair 10 de ambos os seus membros, ficando:
(3a - 1)(3b - 10) - 10 = 9ab - 30a - 3b = 0

E daí chegamos finalmente a:
(3a - 1)(3b -10) = 10



b) por que supôs-se que:

3a - 1 = 2 e 3b - 10 = 5
3a - 1 = 5 e 3b - 10 = 2


(3a - 1)(3b-10) = 10

Como os fatores do 1º membro devem ser inteiros, então devem ser divisores de 10:
Divsores de 10 = 1, 2, 5 e 10.

Produtos possíveis tomando-se dois deles como fatores de 10:
1*10 (ou 10*1)
2*5 (ou 5*2)

Testanto o primeiro par de fatores: 1*10 (ou 10*1):
3a - 1 = 10
3a = 10+1 = 11
a = 11/3 ?? (não seria possível, posto que "a" deve ser inteiro)

Assim, descartamos esse par e tomamos o segundo par: 2*5 (ou 5*2).

Um abraço.

Eu faria:

(3a - 1)(3b-10) = 10
a = [10/3(3b-10) + 1/3]
a = [(10 + (3b-10)]/3(3b-10)]
a = (3b)/3(3b-10)]
a = (b)(3b-10)]


a tem que ser inteiro.
Isso é satisfeito para b = 5 e para b = 4 -> como você concluiu isso?

Grande Mestre Ivomilton, é sempre uma honra receber sua ajuda.

Muito bela a sua solução.

Só fiquei com uma dúvida no finalzinho. Não entendi o porquê a tem que ser inteiro.

Só ir testando os valores a partir de 0 ...

Leonardo Sueiro escreveu:Só ir testando os valores a partir de 0 ...

Existe um intervalo de valores que eu tenho que usar pra testar? :scratch:

Sim

a = (b)(3b-10)]


Entre 0 e 5. Depois de 5, o denominador cresce mais que o numerador.

velloso escreveu:Grande Mestre Ivomilton, é sempre uma honra receber sua ajuda.

Muito bela a sua solução.

Só fiquei com uma dúvida no finalzinho. Não entendi o porquê a tem que ser inteiro.

Boa tarde, amigo Velloso.

Vem da parte a seguir:

Seja (ab)₁₀ a forma geral desses dois números. Assim:
10a + b = 3ab ⇒ 9ab - 30a - 3b = 0 ⇒ (3a - 1)(3b-10) = 10

É por que "a" e "b" são os algarismos do número (ab)10 acina, ou seja, os algarismos de 10a + b.
Sendo algarismos de um número, obviamente só poderão ser inteiros.





Um abraço.

Leonardo Sueiro escreveu:Sim

a = (b)(3b-10)]


Entre 0 e 5. Depois de 5, o denominador cresce mais que o numerador.

Ah sim, mas então a expressão é: