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por Sawyier Qui 17 Jan 2013, 07:47

Dados os pontos A(2; 1; 0), B(1; 0; 2) e C(0; -1; -1), encontre a distância "d" do ponto C à reta definida pelos pontos A e B.

Resolução:

$\vec{AB}= (-1; -1; 2), \vec{AC}= (-2; -2; -1)\\\\d = \frac{\left | \vec{AB} \times \vec{AC} \right |}{\left |\vec{AB}\right |}\\\\\\ \left |\vec{AB} \times \vec{AC} \right | = 5\sqrt{2}\\\\ \left |\vec{AB}\right | = \sqrt{6}\\\\\therefore d = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$

O que eu não entendi é o porquê de "d" ter sido definido como $d = \frac{\left | \vec{AB} \times \vec{AC} \right |}{\left |\vec{AB}\right |}$

Obrigado desde já.

por **hygorvv** Qui 17 Jan 2013, 12:27

Sabemos que a área do triângulo pode ser definida por:
S=b.d/2
mas, b=|AB|
S=|AB|.d/2

Mas, podemos defini-la como:
S=|ABxAC|/2

Igualando
|AB|.d/2=|ABxAC|/2
d=|ABxAC|/|AB|

Espero que ajude.

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