Questão desafio II!

por leonardo camilo tiburcio Seg 14 Jan 2013, 15:37

É outra questão aloprada do meu simulado:

Dado que x sobre x ao quadrado + 3x + 1= a , a diferente de zero, então x ao quadrado sobre x a quarta potencia + 3x ao quadrado + 1 é igual a :

a= a ao quadrado sobre a ao quadrado + 3a +1
b= a sobre a ao quadrado + 3a + 1
c= a ao quadrado sobre a ao quadrado -6a + 1
d= a sobre 10 ao ao quadrado + 1
e= a ao quadrado sobre 10 a ao quadrado - 6a +1

Quero ver quem faz essa!

por **Robson Jr.** Seg 14 Jan 2013, 16:07

Da igualdade inicial:

$\small \frac{x}{x^2+3x+1}=a \Rightarrow \frac{x^2+3x+1}{x}=\frac{1}{a} \Rightarrow x+\frac{1}{x}=\frac{1}{a}-3$

Elevando ao quadrado:

$\small \\ x^2+2+\frac{1}{x^2}=\frac{1}{a^2}-\frac{6}{a}+9 \Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=\frac{1}{a^2}-\frac{6}{a}+7 \text{ (Eq 1)}$

Seja k o valor da expressão procurada. Temos:

$\small \frac{x^2}{x^4+3x^2+1}=k \Rightarrow \frac{x^4+3x^2+1}{x^2}=\frac{1}{k} \Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+3=\frac{1}{k} \text{ (Eq 2)}$

Substituindo Eq 1 em Eq 2:

$\small \frac{1}{a^2}-\frac{6}{a}+10=\frac{1}{k} \Rightarrow \frac{10a^2-6a+1}{a^2}=\frac{1}{k} \Rightarrow {\color{Red} k=\frac{a^2}{10a^2-6a+1}}$

Letra e)

por leonardo camilo tiburcio Seg 14 Jan 2013, 16:28

Nossa cara que fatorada show que voce achou, uma dúvida por que inverteu as equações?

por **Robson Jr.** Seg 14 Jan 2013, 16:53

Uma boa motivação para inverter as frações seria a facilidade de trabalhar com (x²+3x+1)/x ao invés de x/(x²+3x+1), pois no primeiro caso alguns termos cancelam. Particularmente, vi que o inverso da fração pedida envolvia (x² + 1/x²), enquanto o inverso da fração inicial envolvia (x + 1/x). Chegar no primeiro partindo do segundo é um problema clássico; daí a ideia.