CN 1996 - perímetro

por **raimundo pereira** Sáb 12 Jan 2013, 21:35

Sejam ABCDEFGHIJKL os vértices consecutivos de um dodecágono regular inscrito num círculo de raio V6. O perímetro do triângulo de vértice AEH é igual a :

Resp.3|1+V2+V3 |

Não consegui (ainda ) achar o lado AH. :vfg:

por **raimundo pereira** Sáb 12 Jan 2013, 22:17

Creio ter visto uma saída.
Aplicar lei dos cossenos no triângulo AHE:
(V6.V3)²=(V6.V2)²+AH² -2.V6.V2.AH.cos60º

Continuando:

18 = 12 + AH² - 2.V12.1/2
AH² -V12.AH - 6 = 0
AH = (V12 ± V36)/2
AH = (V12 + 6)/2
AH = (2V3 + 6)/2
AH = 3 + V3

2P = V18 + V12 + 3 + V3
2P = 3V2 + 2V3 + 3 + V3
2P = 3*(1 + V2 + V3)

por **raimundo pereira** Sáb 12 Jan 2013, 22:37

Hoje não tenho mais pik para fazer essas contas , amanhã continuarei.
Guten Nachten !

por Igor Bragaia Sáb 12 Jan 2013, 22:42

Seja AH=x, EH=y, AE=z

Considere "O" o centro do dodecágono

Teorema dos cossenos no ∆AHO:
x²=2r²-2r²cos150º
x²=2r²+r²√3
x²=r²(2+√3)
x=r√(2+√3)

Teorema dos cossenos no ∆AEO:
z²=2r²-2r²cos120º
z²=2r²+r²=3r²
z=r√3

Pitágoras no ∆HEO:
2r²=y²
y=r√2

Perímetro=r[√3+√2+√(2+√3)]

Tirando o radical duplo de √(2+√3):
$\sqrt \left (2+\sqrt3 \right ) \right = \sqrt \frac{2+\sqrt\left ( 4-3 \right )}{2} + \sqrt \frac{2-\sqrt\left ( 4-3 \right )}{2}=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt2}$

Perímetro=√6[√2+√3+(√3+1)/√2]=
$\\ P=\sqrt6 \left ( \frac{\sqrt2\left ( \sqrt2+\sqrt3 \right )+\sqrt3+1}{\sqrt2} \right )=\sqrt3\left ( 3+\sqrt6+\sqrt3 \right ) \Rightarrow \\ \Rightarrow 3+3\sqrt2+3\sqrt3=3\left ( 1+\sqrt2+\sqrt3 \right )$

Ufa, deu trabalho!!