Questão 037 (UF Uberlândia)

Seja o número complexo z = cos15º + isen15º, onde i2 = –1. Se w é um outro número complexo tal que |w| = |z| = |z – w|, então pode-se afirmar que um valor possível para w nessas condições é:
a) w = cos315º+isen315º c) w = cos165º+isen165º
b) w = cos60º+isen60º d) w = cos225º+isen225º

Para mim esta questão raia o incompreensível: tanto o complexo z como todos os complexos w das alternativas têm módulo igual a 1, o que é imediato pois cos^2(x)+sen^2(x) = 1 => então |z| = |w| já pelo enunciado...então como será possível
|w| = |z| = |z – w|????...

A solução dada por Elcioschin em 13 Dez 2011 às 13:24, que achei na internet não satisfaz também, já que segundo a sugestão dada testei todas as alternativas com |w|^2 e sempre encontro valor 1.

Agradeceria se alguém no fórum pudesse me dar uma luz aqui!

Sds
Andreas

Schulz escreveu:então como será possível |w| = |z| = |z – w|????...

Que incompatibilidade |z| = |w| = |z - w| = 1 implicaria? Você sugere a existência de um problema, mas não especifica.

Interpretemos geometricamente o problema:

● |z - 0| = 1 significa que a distância do complexo z a origem vale 1.
● |w - 0| = 1 significa que a distância do complexo w a origem vale 1.
● |z - w| = 1 significa que a distância do complexo z ao w vale 1.

Então o afixo de z, o afixo de w e a origem formam um triângulo equilátero de lado unitário.

Há duas possibilidades para w:

a) O complexo obtido girando-se z 60º no sentido anti-horário;
b) O complexo obtido girando-se z 60º no sentido horário.

Representando:


(Os ângulos verdes valem 60º)

Gabarito a)

Robson,

Muito obrigado. Vou analisar.
Tenho que me conscientizar de que complexos são diferentes...
Saudações

Andreas

Qualquer dúvida é só perguntar, amigo Andreas.

Falou.....

Robson,

Agora com a cuca fresca, analisei a sua resposta.
Acho que entendi.
Por favor me confirme:
Se eu girar z por 60º no sentido horário teremos w = 1(cos75+isen75), mas
isto equivale a |z+w|, enquanto que no sentido anti-horário por 60º teremos w = 1(cos315º+isen315º), que equivale a |z-w|???

Abraço

Andreas

Girando no sentido horário, obtemos cis(315º); no sentido anti-horário, cis(75º).

|z-w| continua sendo meramente a distância do afixo de z ao afixo de w, não importando qual a rotação feita.

|z+w| é irrelevante no problema, mas poderia ser visto como |z-(-w)| (distância de z até -w).

Questão movida para -> Ensino Médio -> Álgebra

Estou começando a entender melhor.
Desculpe a confusão horário-anti-horário...
Sds
Andreas