Estrelas poligonais regulares

1. Estrelas poligonais regulares


Ilustração 1
As projeções braçais de uma estrela poligonal são cada uma das regiões triangulares isoladas responsáveis pela não convexidade da figura. Na ilustração 1 o triângulo GCH é uma projeção braçal do pentagrama.
Entenda por polígono interno a uma estrela poligonal aquele formado no centro desta pelas bases de suas projeções braçais, na ilustração 1 o pentágono FGHIJ. O polígono externo é aquele cujos vértices são as extremidades das projeções braçais, na ilustração 1 ABCDE.
Sempre que pedido para calcular algo referente a uma estrela poligonal neste exercício, considere em função do raio.

A. Uma figura hipotética é construída do seguinte modo: Toma-se uma circunferência regular de raio R e nela circunscreve-se um pentagrama regular. Utilizando-se os vértices do pentágono interno ao pentagrama regular cria-se uma nova circunferência, na qual se circunscreve um hexagrama regular. Novamente se toma como base os vértices do hexágono interno ao hexagrama para desenhar uma circunferência, na qual será desenhado um heptágono regular, e assim por diante, acrescentando sempre um lado ao polígono formador da próxima estrela poligonal regular, infinitamente.

I. Calcule a somatória das áreas de todas as projeções braçais de todas as estrelas da sequência.
II. Resolva o exercício I desconsiderando da área das projeções braçais a parte compreendida pela circunferência utilizada pra desenhar a próxima estrela poligonal na sequência.


B. Considere infinita a sequência da figura a seguir.

Ilustração 2

I. Calcule a somatória das áreas de todas as projeções braçais dos infinitos pentagramas do fractal que nomearemos Pentagrama Infinito Braçal (ilustração 2).
II. Resolva o exercício I considerando que cada pentagrama do fractal também é um Pentagrama Infinito Braçal.

C. Considere infinita a sequência da figura a seguir.

Ilustração 3

I. Calcule a somatória das áreas de todas as projeções braçais dos infinitos pentagramas do fractal que nomearemos Pentagrama Infinito Central (ilustração 3).
II. Calcule a somatória das áreas de todos os pentágonos regulares do Pentagrama Infinito Central.

D.
I. Calcule a somatória das áreas de todas as projeções braçais de todos os pentagramas de um Pentagrama Infinito Central Braçal, que é um Pentagrama Infinito Central no qual cada pentagrama (excluindo-se o primeiro) é um Pentagrama Infinito Braçal.
II. Calcule a somatória das áreas de todas as projeções braçais de todos os pentagramas de um Pentagrama Infinito Braçal Central, que é um Pentagrama Infinito Braçal no qual cada pentagrama (excluindo-se o primeiro) é um Pentagrama Infinito Central.
III. Calcule a somatória das áreas de todas as projeções braçais de todos os pentagramas de um Pentagrama Infinito Braçal Central Total, que é um Pentagrama Infinito Braçal Central no qual cada pentagrama (excluindo-se o primeiro) também o é.
IV. Calcule a somatória das áreas de todas as projeções braçais de todos os pentagramas de um Pentagrama Infinito Central Braçal Total, que é um Pentagrama Infinito Central Braçal no qual cada pentagrama (excluindo-se o primeiro) também o é.

E.
I. Calcule a somatória das áreas de todas as projeções braçais de todos os pentagramas de um Pentagrama Infinito Central Braçal, que é um Pentagrama Infinito Central no qual cada pentagrama é um Pentagrama Infinito Braçal.
II. Calcule a somatória das áreas de todas as projeções braçais de todos os pentagramas de um Pentagrama Infinito Braçal Central, que é um Pentagrama Infinito Braçal no qual cada pentagrama é um Pentagrama Infinito Central.
III. Calcule a somatória das áreas de todas as projeções braçais de todos os pentagramas de um Pentagrama Infinito Braçal Central Total, que é um Pentagrama Infinito Braçal Central no qual cada pentagrama também o é.
IV. Calcule a somatória das áreas de todas as projeções braçais de todos os pentagramas de um Pentagrama Infinito Central Braçal Total, que é um Pentagrama Infinito Central Braçal no qual cada pentagrama também o é.

F. Desenvolva uma fórmula geral para calcular os itens do exercício D e E para quaisquer estrelas poligonais regulares.

ilustração 3