Polígonos regulares

por DaviBahia Seg 11 Mar 2013, 21:33

Há um pentágono regular ABCDE e um ponto interno P. Forma-se o triângulo equilatéro ABP. Calcule o ângulo CPD.

Gabarito: 84º.

por **raimundo pereira** Ter 12 Mar 2013, 20:43

1 -ângulo interno do pentágono Ai=(n-2).180/n--->Ai=108º
2 - Triângulo BPC e triângulo APE são isósceles
3- EP=EC

Então CPD={360-(66+66+60)}/2=84º

att

por DaviBahia Ter 12 Mar 2013, 21:41

Boa noite, Raimundo Wink

Tenho algumas dúvidas em relação à sua resolução...

Como se pode afirmar, por exemplo, que vários segmentos têm a mesma medida, como foi marcado em sua resolução com vários traços?

O ponto P não está no centro... silent

por **raimundo pereira** Ter 12 Mar 2013, 22:13

O triângulo APB é equilátero , então os lados do pentágono são iguais ao lados do triângulo equilátero.
Veja que os triângulos APE e BCP tem dois lados iguais (isósceles) porque ? esses lados são: um lado do triângulo equilátero e outro lado do pentágono.

Agora você deve ter entendido o porque dos traços verdes. Vamos aos traços pretos.

Por simetria o ponto P interno do triângulo equilátero determina distancias iguais a dois vértices não consecutivos. Com isso vemos que os ângulos EPD e CPD são iguais.

Finalmente para encontrar a resposta é só lembrar que um ângulo replementar mede 360º. Right ?

por DaviBahia Qui 14 Mar 2013, 17:56

Right

Muito obrigado.

por DaviBahia Dom 17 Mar 2013, 18:00

Boa noite, Raimundo Wink

Surgiu uma dúvida em relação à seguinte afirmação: "Por simetria o ponto P interno do triângulo equilátero determina distancias iguais a dois vértices não consecutivos.".

Eu não entendo como isso pode acontecer... na realidade, o P é um ponto interno, e não central. O ponto P pode estar a 1 cm do ponto E e a 100 cm do ponto C... o ponto P é simplesmente interno, mais nada...

Aliás... acho que entendi; pra formar triângulo equilátero (ABP), o ponto P obrigatoriamente deve estar no centro?

por **raimundo pereira** Dom 17 Mar 2013, 19:02

Olá Davi ,
O ponto P não fica no centro do círculo , se assim fosse, o lado do pentángono seria igual ao raio . O polígono inscrito cujo lado é igual ao raio é o hexágono regular.
Sendo o lado do pentágono maior que o raio, o ponto P fica fora do centro. Quando você desenha o triângulo equilátero a partir de qq lado do pentágono, o ponto P vai está equidistante de dois vértices não consecutivos. Tente fazer uma desenho , mudando de posição o triângulo equilátero.

por DaviBahia Dom 17 Mar 2013, 19:08

"Quando você desenha o triângulo equilátero a partir de qq lado do pentágono, o ponto P vai está equidistante de dois vértices não consecutivos.".

Entendi... o que me faltava era exatamente o conhecimento da propriedade acima e saber que ela nada tem a ver com o ponto P estar no centro. Mais uma vez, muito obrigado Wink